人教版数学中考精品模拟练习（含详细解析）

这是一份人教版数学中考精品模拟练习（含详细解析），共37页。试卷主要包含了看到的等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）2020年，中尼两国领导人共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米．2022年5月4日，我国科考队员成功在珠峰海拔8830米处架设自动气象观测站，这是全世界海拔最高的自动气象观测站．若将自动气象观测站作为基准，记珠峰山顶为+18.86米，则海平面应记为（　　）
A．﹣8830米 B．0米 C．﹣8848.86米 D．+8830米
3．（3分）小丽画出了左图几何体从一个方向看的图形，你认为它是从（　　）看到的．

A．正面 B．上面 C．左面 D．正面或左面
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．
C． D．
5．（3分）已知关于x的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
7．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（　　）

A．21 B．22 C．23 D．24
9．（3分）以下四个命题：其中真命题的个数有（　　）
①若m2x＞m2y，则x＞y；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③若正六边形的边长为，则它的面积为；
④若函数y＝ax2﹣（a+1）x+1图象与x轴只有一个交点，则a＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：﹣3xy3+12xy＝　 　．
12．（3分）圆锥的母线长为5，底面圆的面积为9π，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 　 　°．
13．（3分）《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜钱的直径为3cm，厚度为0.2cm，一枚铜钱的平均密度约为9g/cm3．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 　 　g（用含m，n，π的式子表示）．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 　 　．

15．（3分）河面上有两座桥：一座抛物型拱桥，一座圆弧型拱桥．受降雨影响，河水的水位持续上涨．上午8：00，两座桥的水面宽均为8m，1小时后，水面上涨了1m，此时水面宽都变为6m．假设水位上涨的速度保持不变，先被淹没的桥是 　 　，比另一座桥被淹没早 　 　小时．


16．（3分）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解：
（1）计算：．
（2）解方程组：．
18．（8分）（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．


①以B为圆心，任意长为半径作弧，分 ①以A为圆心，BC长为半径作弧；
别交AB，BC于点E，F； ②以C为圆心，AB长为半径作弧；
②以C为圆心，BE长为半径作弧，
交BC的延长线于点M③两弧交于点D，连接CD；则CD∥AB．
③再以M为圆心，EF长为半径作弧，与
前弧交于点N；
④连接CN，则CN∥AB．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：　 　
做法二：　 　
（2）如图，平行四边形ABCD中，DE＝BF，请你再加一个条件，使四边形AECF为菱形，并证明．




19．（9分）北京冬季奥运会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，北京成为全球首座“双奥之城”．本次冬奥会共设7个大项、15个分项、109个小项．其中7个大项包括滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项．某课题小组为了解全校1800名学生对冬奥项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下：
“你最喜欢的冬奥项目”调查问卷
你最喜欢的冬奥项目是____（单选）
A、滑雪
B、滑冰
C、冰球
D、冰壶
E、雪车
F、雪橇
G、冬季两项
（1）本次调查中，已知喜欢滑冰的学生比喜欢滑雪的学生多30人，问共调查了 　 　名学生；并补全条形图；
（2）估计全校学生中，最喜欢的东奥项目是哪一项，大约有多少人？
（3）滑冰分为速度滑冰、短道速滑、花样滑冰三个分项．甲，乙两名学生分别喜欢滑冰项目中的一个分项，用列举法求两人喜欢同一个分项的概率．


20．（7分）今年，“冰墩墩”“雪容融”成为新晋顶流．经了解，雪容融的单价是冰墩墩单价的0.75倍，用13200元购买冰墩墩的数量比用6600元购买雪容融的数量多50个．
（1）冰墩墩和雪容融的单价分别是多少元？
（2）现需要购买冰墩墩和雪容融共100个，且冰墩墩的数量不少于雪容融的数量，总费用不超过7800元．请问：有哪几种购买方案？
21．（7分）5月10日，天舟四号货运飞船由长征七号遥五运载火箭成功发射．已知火箭长为53.1m，点火后，前10s火箭竖直上升．如图所示，发射10s后火箭上升到AB位置，此时在监测点P处测得火箭顶端A的仰角为35.2°，火箭底端B的仰角为34°，求火箭前10s上升的平均速度（用非特殊角的三角函数表示）

22．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线OA与反比例函数交于A、B两点，已知点C（﹣5，0），点F为x轴上点C左侧的一点，，且tan∠BCF＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后（m＞0），与反比例函数图象交于点D和点E，若点D和点E的水平距离为13，求m的值；
（3）在（2）的基础上，直线DE的解析式为y2，当y2＞y1时，请写出自变量x的取值范围．

23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．

24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点，，直线y＝x﹣1与抛物线交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E为直线CD上方的抛物线上的一个动点（不与点C，D重合），将直线CD上方的抛物线部分关于直线
CD对称形成爱心图案，动点E关于直线CD对称的点为F，求EF的取值范围．



参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）2020年，中尼两国领导人共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米．2022年5月4日，我国科考队员成功在珠峰海拔8830米处架设自动气象观测站，这是全世界海拔最高的自动气象观测站．若将自动气象观测站作为基准，记珠峰山顶为+18.86米，则海平面应记为（　　）
A．﹣8830米 B．0米 C．﹣8848.86米 D．+8830米
【考点】正数和负数．菁优网版权所有
【分析】根据题目可知，以自动气象观测站作为基准，往上为正，则下即为负即可求解．
【解答】解：根据题意，以自动气象观测站作为基准，往上为正，则往下即为负；
珠峰山顶为+18.86米，所以海平面应记为﹣8830米；
故选：A．
【点评】本题主要考查正数、负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
3．（3分）小丽画出了左图几何体从一个方向看的图形，你认为它是从（　　）看到的．

A．正面 B．上面 C．左面 D．正面或左面
【考点】由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】根据从三个方面：从正面看、从左面看和从上面看立体图形得到的平面图形的画法得出相应平面图形即可得到答案．
【解答】解：左图几何体从一个方向看的图形，观察图形可知，它是从正面或左面看到的．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，掌握从正面看、从左面看和从上面看立体图形得到的平面图形的画法是解决问题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．
C． D．
【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；分式的基本性质；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】利用幂的乘方计算A，利用分式的基本性质判断B，利用负整数指数幂的意义计算C，利用二次根式的性质计算D．根据计算结果可得结论．
【解答】解：（a2）3＝a6≠a5，故选项A计算错误；
根据分式的基本性质，分式的分子分母都加上同一个数2，
分式的大小会变化．∴≠，故选项B计算错误；
﹣3﹣2＝﹣＝﹣≠，故选项C计算错误；
＝＝|m2+2|，
∵m2+2＞0，
∴＝m2+2，故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题综合性较强，考查了幂的乘方、分式的基本性质、负整数指数幂的意义及二次根式的化简．掌握幂的运算法则、分式的基本性质、负整数指数幂的意义及二次根式的性质是解决本题的关键．
5．（3分）已知关于x的不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由3（x﹣1）+2≤5x+3，得：x≥﹣2，
由，得：x＜，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）已知一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，且m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则这组数据的中位数是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【考点】根与系数的关系；中位数；众数．菁优网版权所有
【分析】先根据众数的定义得到m＝2或n＝2且m、n都不等于3，再根据根与系数的关系得到m+n＝7，所以m、n的值为2、5，然后根据中位数的定义求解．
【解答】解：∵一组正整数2，m，3，n，3，2的众数是2，
∴m＝2或n＝2且m、n都不等于3，
∵m，n是一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，
∴m+n＝7，
当m＝2时，n＝5或n＝2时，m＝5，
∴一组正整数为2，2，2，3，3，5，
∴这组数据的中位数为＝2.5．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了中位数和众数．
7．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2﹣bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数的图象得出b＞0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴b＞0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，﹣b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，﹣b＞0，
∴与b＞0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，﹣b＞0，
∴与b＞0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，﹣b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接BD，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（　　）

A．21 B．22 C．23 D．24
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分BD，再利用勾股定理计算出BD＝10，则CH＝BH＝5，接着证明△BHG∽△BAD，利用相似比求出HG＝，BG＝，然后计算HG+BG+BC+CH即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分BD，
∴GH⊥BD，BH＝DH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝6，
在△ABD中，BD＝＝＝10，
∵CH为Rt△BCD的斜边上的中线，
∴CH＝BH＝BD＝5，
∵∠BHG＝∠A，∠HBG＝∠ABD，
∴△BHG∽△BAD，
∴＝＝，即＝＝，
∴HG＝，BG＝，
∴四边形BCHG的周长＝HG+BG+BC+CH＝++6+5＝21．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
9．（3分）以下四个命题：其中真命题的个数有（　　）
①若m2x＞m2y，则x＞y；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③若正六边形的边长为，则它的面积为；
④若函数y＝ax2﹣（a+1）x+1图象与x轴只有一个交点，则a＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；抛物线与x轴的交点；圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】①利用不等式的性质判断；
②利用圆周角定理的推论判断；
③利用正六边形的性质计算判断；
④利用函数与x轴的交点知识判断．
【解答】解：①若m2x＞m2y，当m＝0时，x＝y，故命题是假命题；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角不一定相等，因为一般一条弦对着一条劣弧和优弧，所以圆周角一般是锐角和钝角，故命题是假命题；
③若正六边形的边长为，则半径也是，边心距为×＝，它的面积为×6×＝，故命题是真命题；
④当a＝0时，函数为y＝﹣x+1，函数y＝ax2﹣（a+1）x+1图象与x轴也只有一个交点，则命题是假命题．
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，同时也考查了圆周角定理及推论，抛物线与x轴的交点等知识点，熟练掌握基本知识点是解题的关键．
10．（3分）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（　　）

A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1
【考点】二次函数的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m的顶点（m，﹣m）在直线y＝﹣x上运动，

在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，﹣1．
故选：D．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）
11．（3分）因式分解：﹣3xy3+12xy＝　﹣3xy（y+2）（y﹣2）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】直接提取公因式﹣3xy，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：﹣3xy3+12xy＝﹣3xy（y2﹣4）
＝﹣3xy（y+2）（y﹣2）．
故答案为：﹣3xy（y+2）（y﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
12．（3分）圆锥的母线长为5，底面圆的面积为9π，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 　216　°．
【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有
【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到6π＝，然后解方程即可．
【解答】解：底面圆的面积为9π，
∴圆的半径为3，
∴底面圆的周长为6π，
设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得6π＝，
解得n＝216，
所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为216．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（3分）《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知铜钱的直径为3cm，厚度为0.2cm，一枚铜钱的平均密度约为9g/cm3．为计算铜钱的质量，做如下实验：将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 　　g（用含m，n，π的式子表示）．

【考点】利用频率估计概率；列代数式．菁优网版权所有
【分析】先利用频率估计概率的思想，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的，再求出铜钱的体积，然后用铜钱的体积乘以平均密度即可求解．
【解答】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次，
∴可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的，
∴铜钱的实际面积为π×（）2×（1﹣）＝（cm2），
∴铜钱的体积为×0.2＝（cm3），
∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为×9＝（g）．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，分式的混合运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN上，若△MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 　（，4）或（，4）或（10，4）　．

【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．
【解答】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：（，4）或（，4）或（10，4）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．
15．（3分）河面上有两座桥：一座抛物型拱桥，一座圆弧型拱桥．受降雨影响，河水的水位持续上涨．上午8：00，两座桥的水面宽均为8m，1小时后，水面上涨了1m，此时水面宽都变为6m．假设水位上涨的速度保持不变，先被淹没的桥是 　圆弧型的拱桥　，比另一座桥被淹没早 　　小时．


【考点】垂径定理的应用；二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的图象和性质，垂径定理以及勾股定理分别计算出O′N′，ON的长，进而得出淹没拱桥的时间，得出答案．
【解答】解：如图，由题意可知，AB＝A′B′＝8m，CD＝C′D′＝6m，MN＝M′N′＝1m，
由对称性和垂径定理可知，BM＝B′M′＝4m，DN＝D′N′＝3m，
在抛物型拱桥中，建立如图所示的坐标系，
设点D（3，k），则点B（4，k﹣1），设抛物线的关系式为y＝ax2，
∴9a＝k，16a＝k﹣1，
解得a＝﹣，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2，
当x＝3时，y＝﹣×32＝﹣，
∴点D（3，﹣），
即ON＝，
∴水面上升到x轴时的时间为：÷1＝（小时）；
在圆弧型桥拱中，如图，连接O′B′，O′D′，由勾股定理得，
O′B′2＝O′M′2+B′M′2，O′D′2＝O′N′2+N′D′2，
设O′M′＝b，则O′N′＝b+1，
∴O′B′2＝b2+42，O′D′2＝（b+1）2+32，
又∵O′B′＝O′D′，
∴b2+42＝（b+1）2+32，
解得b＝3，
当b＝3时，O′B′＝＝5，
即圆的半径为5m，
∴水面C′D′上升淹没的桥的时间为：（5﹣3﹣1）÷1＝1（小时）；
∵＞1，
∴先被淹没的桥是圆弧型的拱桥，比抛物线性拱桥被淹没早﹣1＝（小时），
故答案为：圆弧型的拱桥，．

【点评】本题考查垂径定理、二次函数的应用，掌握垂径定理以及二次函数的图象和性质是正确解答的前提．
16．（3分）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式 　y＝　．

【考点】等边三角形的性质；平移的性质；函数关系式．菁优网版权所有
【分析】读懂题意，把△A'B'C'的移动分为三个阶段，0≤x≤2，2≤x≤5，5≤x≤7，对每一个阶段讨论重叠部分的面积为y与x的关系，求出解析式．
【解答】解：∵当移动的距离为x取值为0≤x≤2时，三角形重叠部分是等边三角形，底边为x，底边上对应的高为x，
∴y＝×x×x＝x2；
∵当移动的距离为x取值为2≤x≤5时，三角形重叠部分是△A'B'C'，底边为2，底边上对应的高为，
∴y＝×2×＝；
∵当移动的距离为x取值为5≤x≤（5+2）时，三角形重叠部分是等边三角形，底边为2﹣（x﹣5）＝7﹣x，底边上对应的高为（7﹣x），
∴y＝×（7﹣x）×（7﹣x）＝（7﹣x）2；
∴y与x之间的函数关系式：y＝；
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了等边三角形性质，图象平移，二次函数解析式，解题的关键是掌握等边三角形性质，图象平移性质，二次函数解析式求法．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算求解：
（1）计算：．
（2）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】（1）先算绝对值，二次根式的化简，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣3﹣2+1﹣2×1+2
＝2﹣3﹣2+1﹣2+2
＝2﹣4；
（2）令，，
则，
①+②得：2m＝2，
解得m＝1，
把m＝1代入①得：1+n＝3，
解得n＝2，
∴，
整理得：，
⑤+⑥得：2x＝26，
解得x＝13，
把x＝13代入⑤得：13+y＝6，
解得y＝﹣7，
故原方程组的解是：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，实数的运算，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
18．（8分）（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．


①以B为圆心，任意长为半径作弧，分 ①以A为圆心，BC长为半径作弧；
别交AB，BC于点E，F； ②以C为圆心，AB长为半径作弧；
②以C为圆心，BE长为半径作弧，
交BC的延长线于点M③两弧交于点D，连接CD；则CD∥AB．
③再以M为圆心，EF长为半径作弧，与
前弧交于点N；
④连接CN，则CN∥AB．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：　SSS　
做法二：　平行四边形的对边平行　
（2）如图，平行四边形ABCD中，DE＝BF，请你再加一个条件，使四边形AECF为菱形，并证明．




【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）做法一：利用作法得BE＝BF＝CN＝CM，则可判断△BEF≌△CNM，所以∠MCN＝∠B，然后根据平行线的判定得到CN∥AB；
做法二：利用作法得AD＝BC，CD＝AB，则可判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到CN∥AB；
（2）添加EF⊥AC，先根据平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，再证明四边形AECF为平行四边形，根据菱形的判定方法可判断四边形AECF为菱形．
【解答】解：（1）做法一：
由作法得BE＝BF＝CN＝CM，
MN＝EF，
∴△BEF≌△CNM（SSS），
∴∠MCN＝∠B，
∴CN∥AB；
做法二：
由作法得AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴CN∥AB；
故答案为：SSS；平行四边形的对边平行．（答案不唯一）；
（2）添加EF⊥AC，则四边形AECF为菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵DE＝BF，
∴CE＝AF，
而CF∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质和菱形的判定．
19．（9分）北京冬季奥运会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，北京成为全球首座“双奥之城”．本次冬奥会共设7个大项、15个分项、109个小项．其中7个大项包括滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项．某课题小组为了解全校1800名学生对冬奥项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下：
“你最喜欢的冬奥项目”调查问卷
你最喜欢的冬奥项目是____（单选）
A、滑雪
B、滑冰
C、冰球
D、冰壶
E、雪车
F、雪橇
G、冬季两项
（1）本次调查中，已知喜欢滑冰的学生比喜欢滑雪的学生多30人，问共调查了 　200　名学生；并补全条形图；
（2）估计全校学生中，最喜欢的东奥项目是哪一项，大约有多少人？
（3）滑冰分为速度滑冰、短道速滑、花样滑冰三个分项．甲，乙两名学生分别喜欢滑冰项目中的一个分项，用列举法求两人喜欢同一个分项的概率．


【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．菁优网版权所有
【分析】由题意即可得出结论；
（1）设共调查了x名学生，则滑冰的学生人数为30%x，滑雪的学生人数为15%x人，由题意：喜欢滑冰的学生比喜欢滑雪的学生多30人，列出方程，解方程，即可解决问题；
（2）由题意得出全校学生中，最喜欢的东奥项目是滑冰，再列式计算即可；
（3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲，乙两名学生喜欢同一个分项的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：最喜欢的冬奥项目是滑冰，
故选：B；
（1）设共调查了x名学生，则滑冰的学生人数为30%x，滑雪的学生人数为15%x人，
由题意得：30%x﹣15%x＝30，
解得：x＝200，
则30%x＝0.3×200＝60，15%x＝0.15×200＝30，10%x＝0.1×200＝20，5%x＝0.05×200＝10，
补全条形图如下：

（2）估计全校学生中，最喜欢的东奥项目是滑冰，
大约有：1800×30%＝540（人）；
（3）把速度滑冰、短道速滑、花样滑冰三个分项分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲，乙两名学生喜欢同一个分项的结果有3种，
∴两人喜欢同一个分项的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（7分）今年，“冰墩墩”“雪容融”成为新晋顶流．经了解，雪容融的单价是冰墩墩单价的0.75倍，用13200元购买冰墩墩的数量比用6600元购买雪容融的数量多50个．
（1）冰墩墩和雪容融的单价分别是多少元？
（2）现需要购买冰墩墩和雪容融共100个，且冰墩墩的数量不少于雪容融的数量，总费用不超过7800元．请问：有哪几种购买方案？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）设冰墩墩的单价是x元，则雪容融的单价是0.75x元，由题意：用13200元购买冰墩墩的数量比用6600元购买雪容融的数量多50个．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买冰墩墩m个，则购买雪容融（100﹣m）个，由题意：冰墩墩的数量不少于雪容融的数量，总费用不超过7800元．列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设冰墩墩的单价是x元，则雪容融的单价是0.75x元，
由题意得：＝+50，
解得：x＝88，
经检验，x＝88是原方程的解，且符合题意，
则0.75x＝0.75×88＝66，
答：冰墩墩的单价是88元，雪容融的单价是66元；
（2）设购买冰墩墩m个，则购买雪容融（100﹣m）个，
由题意得：，
解得：50≤m≤54，
∵m为正整数，
∴m的值为50，51，52，53，54，
∴有5种购买方案，分别为：
①购买冰墩墩50个，雪容融50个；
②购买冰墩墩51个，雪容融49个；
③购买冰墩墩52个，雪容融48个；
④购买冰墩墩53个，雪容融47个；
⑤购买冰墩墩54个，雪容融46个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
21．（7分）5月10日，天舟四号货运飞船由长征七号遥五运载火箭成功发射．已知火箭长为53.1m，点火后，前10s火箭竖直上升．如图所示，发射10s后火箭上升到AB位置，此时在监测点P处测得火箭顶端A的仰角为35.2°，火箭底端B的仰角为34°，求火箭前10s上升的平均速度（用非特殊角的三角函数表示）

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】连接BC，分别在Rt△BOP和Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，从而列出关于OB的方程，进行计算可求出OB的长，最后再求出平均速度，即可解答．
【解答】解：连接BC，

在Rt△BOP中，∠BPO＝34°，
∴OP＝，
在Rt△AOP中，∠APO＝35.2°，
∴OP＝＝＝，
∴＝，
∴BO＝m，
∴火箭前10s上升的平均速度＝÷10＝m/s，
∴火箭前10s上升的平均速度为m/s．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线OA与反比例函数交于A、B两点，已知点C（﹣5，0），点F为x轴上点C左侧的一点，，且tan∠BCF＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后（m＞0），与反比例函数图象交于点D和点E，若点D和点E的水平距离为13，求m的值；
（3）在（2）的基础上，直线DE的解析式为y2，当y2＞y1时，请写出自变量x的取值范围．

【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）作BH⊥x轴于H，利用三角函数求出点B的坐标，从而解决问题；
（2）由待定系数法得出直线AB的解析式为y＝x，则将直线OA向上平移m个单位后，直线DE的解析式为y＝x+m，根据双曲线与直线交点得出x2+3mx﹣36＝0，利用根与系数的关系x1+x2＝﹣3m，x1•x2＝﹣36，再由x1﹣x2＝13，转化为m的方程，即可解决问题；
（3）根据m的值，可得点D与E的横坐标，再根据图象可得答案．
【解答】解：（1）∵C（﹣5，0），，
∴BC＝，
作BH⊥x轴于H，

∵tan∠BCF＝2．
∴BH＝2，CH＝1，
∴B（﹣6，﹣2），
∴k1＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵B（﹣6，﹣2），
∴直线AB的解析式为y＝x，
∴将直线OA向上平移m个单位后，直线DE的解析式为y＝x+m，
∴x+m＝，
∴x2+3mx﹣36＝0，
∴x1+x2＝﹣3m，x1•x2＝﹣36，
∵若点D和点E的水平距离为13，
∴x1﹣x2＝13，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝169，
∴9m2+36×4＝169，
∵m＞0，
∴m＝；
（3）当m＝时，x2+5x﹣36＝0，
∴x1＝9，x2＝﹣4，
当y2＞y1时，x＞9或﹣4＜＜0．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程中根与系数的关系，函数与不等式的关系等知识，利用根与系数的关系得出m的值是解题的关键．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；
（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC＝AB＝8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，
∵∠CDE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠CDE＝∠CBD，
∵∠DCE＝∠BCD＝90°，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CD＝4，
在Rt△BCD中，BD＝＝4
同理：△CFD∽△BCD，
∴，
∴，
∴CF＝，
∴AC＝2CF＝．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC＝8是解本题的关键．
24．（12分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点，，直线y＝x﹣1与抛物线交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E为直线CD上方的抛物线上的一个动点（不与点C，D重合），将直线CD上方的抛物线部分关于直线
CD对称形成爱心图案，动点E关于直线CD对称的点为F，求EF的取值范围．


【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线的对称轴于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）证明△EHG为等腰直角三角形，得到EF＝2EH＝2×EG＝GE，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝﹣（x﹣1﹣）（x﹣1+）＝﹣x2+2x+5；

（2）存在，理由：
由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交抛物线的对称轴于点P，则点P为所求点，
理由：△PAC的周长＝AC+PA+PC＝AC+PA+PB＝AC+BC为最小，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（3﹣）（x﹣1﹣），
当x＝1时，y＝（3﹣）（x﹣1﹣）＝6﹣3，
故点P的坐标为（1，6﹣3）；

（3）过点E作y轴的平行线交CD于点G，设EF交CD于点H，
由直线CD的表达式知，该直线和x轴的夹角为45°，
∵将直线CD上方的抛物线部分关于直线CD对称形成爱心图案，
∴∠EDH＝90°，EH＝FH，
∴△EHG为等腰直角三角形，
则EF＝2EH＝2×EG＝GE，
设点E（n，﹣n2+2n+5），则G（n，n﹣1），
则EF＝GE＝（﹣n2+2n+5﹣n+1）＝﹣（n2﹣n﹣6），
∵﹣0，故EF有最大值，
当n＝时，EF的最大值为，
∴EF的取值范围为：0≤EF≤．

【点评】此题重点考查一次函数图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/30 18:58:31；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395