北师大版数学中考精品模拟试卷（含详细解析）

这是一份北师大版数学中考精品模拟试卷（含详细解析），共40页。试卷主要包含了估算的运算结果应是等内容，欢迎下载使用。

A．B．C．D．
2．两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是10cm，则较大三角形的周长为（ ）
A．15cmB．18cmC．20cmD．25cm
3．估算的运算结果应是（ ）
A．6＜x＜7B．7＜x＜8C．8＜x＜9D．无法确定
4．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将一个直角三角形按图中方式放在▱ABCD中．已知∠EFG＝90°，∠EGC＝79°，∠AEF＝48°，则∠EGF的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
6．如图，已知直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点A在直线m上，顶点B在直线n上．若∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．85°B．75°C．60°D．45°
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如表，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．抛物线的对称轴是y轴
C．4a+2b+c＝0
D．a+b+c＞3
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A．B．C．πD．
二．填空题（共4小题）
9．计算的结果是 ．
10．如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度变为 m．
11．图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图，AD∥BC，∠C＝90°，楼梯AB的坡比为1：，为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得BD＝2AB＝18m，M为BD的中点，过点M分别作MN∥BC交∠ABD的角平分线于点N，MP∥BN交AD于点P，其中BN和MP为楼梯，MN为平地，则平地MN的长度为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，DC＝3，AD＝DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 ．
三．解答题（共6小题）
13．（1）计算：（﹣）﹣1+×﹣2cs30°﹣|2﹣|；
（2）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．
14．深圳某学校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数 ；
（2）若该年级共有800名学生，估计最喜欢去C地研学的学生人数为 ；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
15．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
17．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；
（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG•GE；
（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，
①求证：；
②求y与x之间的函数关系式．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点是C（0，﹣6），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，S△ABC＝6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P（t，2），其中t＞2，过点P作直线l1：y＝kx1+b1（k＞0），且直线l1与抛物线只有唯一的公共点M．
①若点M的坐标为（2，﹣2），求点P的坐标；
②过点P作直线l2：y＝k2x+b2交抛物线于D，E两点，且k1k2＝﹣，N是DE的中点，求证：直线MN过定点，并求出这个定点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题）
1．如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【答案】D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得两个圆形，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是10cm，则较大三角形的周长为（ ）
A．15cmB．18cmC．20cmD．25cm
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质得出相似比为2：5，根据周长比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，
∴相似比为2：5，
∵较小三角形的周长是10cm，
∴较大三角形的周长为25cm，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，根据题意得出相似比是解题的关键．
3．估算的运算结果应是（ ）
A．6＜x＜7B．7＜x＜8C．8＜x＜9D．无法确定
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】将原式化简后进行估算即可求解．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵64＜75＜81，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小的应用，先将原式中的二次根式化简，再进行估算．
4．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰直角三角形．
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED＝CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，
由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
∴∠BED＝∠CDF，
设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，
∴DF＝FA＝2﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2＝DF2，
即x2+1＝（2﹣x）2，
解得：x＝，
∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．如图，将一个直角三角形按图中方式放在▱ABCD中．已知∠EFG＝90°，∠EGC＝79°，∠AEF＝48°，则∠EGF的度数为（ ）
A．58°B．59°C．60°D．61°
【考点】平行四边形的性质；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质，得AB∥DC，根据直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC＝79°，
∵∠AEF＝48°，
∴∠FEG＝∠AEG﹣∠AEF＝79°﹣48°＝31°，
∴EGF＝90°﹣∠FEG＝90°﹣31°＝59°，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两个锐角互余，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
6．如图，已知直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点A在直线m上，顶点B在直线n上．若∠1＝45°，则∠2的度数是（ ）
A．85°B．75°C．60°D．45°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝45°．由△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝60°，由平角定义即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠3＝∠1＝45°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠CAB﹣∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠1．
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如表，则下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．抛物线的对称轴是y轴
C．4a+2b+c＝0
D．a+b+c＞3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由表格可得，
抛物线开口向下，则a＜0，故选项A错误，
抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故选项B错误，不符合题意；
则x＝2和x＝0对应的函数值相等，故4a+2b+c＝3＞0，故选项C错误，不符合题意；
x＝1时取得最大值，故a+b+c＞3，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝2，∠ACB＝60°，连接OA，OB，则的长是（ ）
A．B．C．πD．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出AD，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出OA，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，
则AD＝DB＝AB＝，
由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴OA＝＝＝2，
∴的长＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
9．计算的结果是 m+1 ．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【答案】m+1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝m+1．
故答案为：m+1．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度变为 m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】．
【分析】建立直角坐标系，求出抛物线解析式，再根据水面下降1m，可得y＝﹣1，求得对应的x，即可求解．
【解答】解：如图，建立直角坐标系，
则顶点C（0，2），B（2，0），A（﹣2，0），
可设抛物线解析式为：y＝ax2+2，
将B（2，0）代入可得：4a+2＝0，解得，
抛物线解析式为：，
水面下降1m，即y＝﹣1，代入抛物线解析式可得：，
解得x2＝6，即，
水面宽变为：．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，正确求得抛物线解析式．
11．图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图，AD∥BC，∠C＝90°，楼梯AB的坡比为1：，为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得BD＝2AB＝18m，M为BD的中点，过点M分别作MN∥BC交∠ABD的角平分线于点N，MP∥BN交AD于点P，其中BN和MP为楼梯，MN为平地，则平地MN的长度为 （﹣2）m ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过A作AF⊥BC于F，设AF＝k，BF＝2k，根据勾股定理得到AB＝＝3k＝9，求得AF＝3，BF＝6，根据矩形的性质得到CD＝AF＝3，AD＝CF，根据勾股定理得到BC＝＝＝3，求得AD＝CF＝3﹣6，延长MN交AB于E，根据三角形中位线定理得到BE＝AB＝，ME＝AD＝，BM＝BD＝9，如图3，过E作EG∥BM交BN的延长线于G，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过A作AF⊥BC于F，
∵楼梯AB的坡比为1：，
∴＝，
∴设AF＝k，BF＝2k，
∴AB＝＝3k＝9，
∴k＝3，
∴AF＝3，BF＝6，
∵∠C＝∠AFB＝90°，
∴AF∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是矩形，
∴CD＝AF＝3，AD＝CF，
∴BC＝＝＝3，
∴AD＝CF＝3﹣6，
延长MN交AB于E，
∵ME∥BC∥AD，M为BD的中点，
∴BE＝AB＝，ME＝AD＝，BM＝BD＝9，
如图3，过E作EG∥BM交BN的延长线于G，
∴∠G＝∠MBG，
∵BN是∠ABD的角平分线，
∴∠EBG＝∠MBG，
∴∠G＝∠EBG，
∴EG＝BE＝AB＝，
∵EG∥BM，
∴△EGN∽△MBN，
∴＝，
解得：MN＝（﹣2）m，
故答案为：（﹣2）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，DC＝3，AD＝DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 ．
【考点】矩形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m，分别表示出PG，PH，PF，EF，进而表示出ET和GT，进而表示出EG，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝3，
∴tan∠DAC＝，
∴∠DAC＝30°，
∵PG⊥AC，
∴PG＝AP＝m，∠APT＝90°﹣∠DAC＝60°，
∴PH＝PG•cs∠APG＝°＝m，GH＝PG•sin∠APG＝°＝，
∵E是BP的中点，
∴EF＝AB＝，PF＝m，
∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF＝m﹣，ET＝FH＝PF﹣PH＝，
在Rt△EGT中，
EG2＝GT2+ET2＝（m﹣）2+（m）2＝（m﹣）2+，
∴当m＝时，EG的最小值为，
故答案为：．
延长PG至Q，使GQ＝PG，连接AQ，BQ，
∵PG⊥AC，
∴AQ＝AP，∠QAP＝2∠CAD＝60°，
∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°，
∵E是BP的中点，
∴EG＝BQ，
当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时BQ＝AB＝，
∴EG的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题方法一运用了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．本题方法二运用了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
三．解答题（共6小题）
13．（1）计算：（﹣）﹣1+×﹣2cs30°﹣|2﹣|；
（2）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．
【专题】实数；分式；运算能力．
【答案】（1）﹣2；
（2）﹣x2﹣x，﹣2﹣．
【分析】（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+×3×﹣2×﹣2+
＝﹣2+2﹣﹣2+
＝﹣2；
（2）原式＝（﹣）÷
＝÷
＝•
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
当x＝时，
原式＝﹣2﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序与法则．
14．深圳某学校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有 100 人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数 72° ；
（2）若该年级共有800名学生，估计最喜欢去C地研学的学生人数为 320 ；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；概率公式．
【专题】统计的应用．
【答案】（1）100；72°；
（2）估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人；
（3）列表见解析，刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其÷其占比15%”求解即可；利用“360°×选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
【解答】解：（1）此次被调查的学生共有15÷15%＝100（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：100；72°；
（2）（40÷100）×100%×800＝320（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人，
故答案为：320；
（3）列表如下：
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
∴刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：P（一男一女）＝，
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【点评】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
15．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年12月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为 （400+20x） 件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
【考点】一元二次方程的应用；列代数式．
【专题】整式；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）（400+20x）；
（2）8元．
【分析】（1）利用月销售量＝400+20×该款吉祥物每件降低的钱数，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：降价x元后的月销售量为（400+20x）件．
故答案为：（400+20x）；
（2）根据题意得：（68﹣x﹣45）（400+20x）＝8400，
整理得：x2﹣3x﹣40＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝8．
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）若CD＝DE，求sin∠BAC的值．
【考点】切线的性质；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥DE，则可判断OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA，然后利用∠2＝∠ODA得到∠1＝∠2；
（2）连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，再证明∠2＝∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1＝，sin∠3＝，则AD＝BC，设CD＝x，BC＝AD＝y，证明△CDB∽△CBA，利用相似比得到x：y＝y：（x+y），然后求出x、y的关系可得到sin∠BAC的值．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AE，
∴OD∥AE，
∴∠1＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ODA，
∴∠1＝∠2，
∴AD平分∠BAE；
（2）解：连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠2+∠ABD＝90°，∠3+∠ABD＝90°，
∴∠2＝∠3，
∵sin∠1＝，sin∠3＝，
而DE＝DC，
∴AD＝BC，
设CD＝x，BC＝AD＝y，
∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：CB＝CB：CA，即x：y＝y：（x+y），
整理得x2+xy﹣y2＝0，解得x＝y或x＝y（舍去），
∴sin∠3＝＝，
即sin∠BAC的值为．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
17．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（且与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．
（1）若AE⊥BC，∠BAE＝18°，求∠BGE的度数；
（2）若AG＝BG，求证BE2﹣GE2＝AG•GE；
（3）过点G作GM//BC交AB于点M，记．S△AMG为S1，S四边形DGEC为S2，BC＝xBE，
①求证：；
②求y与x之间的函数关系式．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）54°；
（2）证明见解答；
（3）①证明见解答；
②．
【分析】（1）根据题意可得∠ABE＝90°﹣18°＝72°，因为菱形的对角线平分一组对角，得，再根据外角的性质可得出．
（2）根据题意易证△AEB∽△BEG，得出，因为AG+GE＝AE，化简可得BE2﹣GE2＝AG•GE．
（3）①根据题意可得GM∥BC，MG∥AD，即△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，故 ，两式相加得，化简可得；
②根据BC＝xBE，AD∥BC，得，即S△AGD＝xS△ABG，S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，S△BDC＝（x+1）S△ABG，根据△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，得出MG＝MB，即，，S1＝，，，代入化简即可．
【解答】（1）解：根据题意可得∠AEB＝90°，∠BAE＝18°，
∴∠ABE＝90°﹣18°＝72°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴∠BGE＝∠ABG+∠BAG＝18°+36°＝54°．
（2）证明：∵AG＝BG，
∴∠ABG＝∠BAG，
∵∠GBE＝∠ABG，
∴∠GBE＝∠BAG，
又∵∠AEB＝∠GEB，
∴△AEB∽△BEG，
∴，
∴BE2＝AE•GE，
∴BE2＝（AG+GE）GE，
∴BE2﹣GE2＝AG•GE．
（3）①证明：∵GM∥BC，BC∥AD，
∴MG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，△AMG∽△ABE，
∴，，
两式相加得，
即，
∴．
②解：∵BC＝xBE，AD∥BC，
∴，△ADG∽△EBG，
∴，
∴S△AGD＝xS△ABG，
∴S△ABD＝S△ABG+xS△ABG＝（x+1）S△ABG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABD≌△BCD（SSS），
∴S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∵MG∥BE，∠MBG＝∠GBE，
∴△AMG∽△ABE，∠MBG＝∠GBE＝∠MGB，
∴MG＝MB，
∴，
∴，
∴，
∴S1＝，，
∵S△BDC＝（x+1）S△ABG，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似型的综合应用，主要考查菱形的性质、相似三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点是C（0，﹣6），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，S△ABC＝6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点P（t，2），其中t＞2，过点P作直线l1：y＝kx1+b1（k＞0），且直线l1与抛物线只有唯一的公共点M．
①若点M的坐标为（2，﹣2），求点P的坐标；
②过点P作直线l2：y＝k2x+b2交抛物线于D，E两点，且k1k2＝﹣，N是DE的中点，求证：直线MN过定点，并求出这个定点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线为：y＝x2﹣6；
（2）①P（3，2）；
②证明见解析，定点坐标为．
【分析】（1）先求解抛物线的顶点坐标，再结合三角形的面积求解A，B的坐标，即可求解；
（2）①利用直线过M（2，﹣2），可得直线为y＝kx1﹣2k1﹣2，联立，可得方程：x2﹣k1x+2k1﹣4＝0，根据点M是直线l1：y＝k1x+b1（k1＞0）与抛物线有唯一公共点，可得方程x2﹣k1x+2k1﹣4＝0有唯一解，可得此时直线l1的解析式为：y＝4x﹣10，问题随之得解；
②设E点坐标为：E（xE，yE），D点为：D（xD，yD），M点为：D（xM，yM），点N为N（xN，yN），联立：，可得方程：x2﹣k2x﹣b2﹣6＝0，可得xE+xD＝k2，即有，根据点N是DE的中点，可得；联立：，可得方程：x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0，根据点M是直线l1：y＝k1x+b1（k1＞0）与抛物线有唯一公共点，可知方程x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0有唯一解，即可得xM+xM＝k1，则有，进而有，即可得，由点P（t，2）在直线l1：y＝k1x+b1（k1＞0）和直线y＝k2x+b2上，可得tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，设直线MN的解析式为：y＝kx+b，可得，结合，tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，解得：，即有直线MN的解析式为：，当x＝0时，，问题得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点是C（0，﹣6），
∴c＝﹣6，即y＝ax2﹣6，
∵S△ABC＝，
∴AB•OC＝6，
∴AB＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣6的对称轴为直线x＝0，
∴OA＝OB＝，
∴A（，0），B（，0），
∴6a﹣6＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线为：y＝x2﹣6；
（2）①∵y＝kx1+b1（k＞0）过点M，M的坐标为（2，﹣2），
∴2k1+b1＝﹣2，
∴b1＝﹣2k1﹣2，
∴y＝kx1﹣2k1﹣2，
结合题意可得：有1组解；
整理得：x2﹣k1x+2k1﹣4＝0，
∴Δ＝﹣8k1+16＝0，
解得：k1＝4，
∴b1＝﹣10，
∴直线为y＝4x﹣10，
∵P（t，2），
∴2＝4t﹣10，
解得：t＝3，
∴P（3，2）；
②设E点坐标为：E（xE，yE），D点坐标为：D（xD，yD），M点为：D（xM，yM），点N为N（xN，yN），
联立：，可得方程：x2﹣k2x﹣b2﹣6＝0，
∴xE+xD＝k2，
∴，
∵点N是ED的中点，N（xN，yN），
∴，，
∴，
联立：，可得方程：x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0，
∵点M是直线l1：y＝k1x+b1（k1＞0）与抛物线有唯一公共点，
∴方程x2﹣k1x﹣b1﹣6＝0有唯一解，即有两个相等的解，
∴xM+xM＝k1，
∴，
∴，
∴，
∵点P（t，2）在直线l1：y＝k1x+b1（k1＞0）和直线y＝k2x+b2上，
∴tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，
设直线MN的解析式为：y＝kx+b，
∵，，
∴，
结合，tk2+b2＝2，tk1+b1＝2，
解得：，
∴直线MN的解析式为：，
∴当x＝0时，，
故直线MN恒过定点：．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，利用一元二次方程求解一次函数与二次函数的交点，利用待定系数法求解一次函数解析式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，联立方程表示出，是解答本题的关键．
考点卡片
1．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
11．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
12．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
13．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
14．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
15．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
16．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
17．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
18．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
19．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
24．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
25．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
28．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
29．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
31．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
32．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
33．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
34．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
35．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
36．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
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题号
1
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答案
D
D
C
B
B
B
D
D
x
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﹣2
﹣1
0
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y
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﹣13
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男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1