广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若随机变量的分布列如下表，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3. 满足双曲线的是（ ）
A. 焦距是2B. 离心率是C. 渐近线是D. 实轴是4
4. 已知向量，，且，则的值为（ ）
A. 5B. C. D. 10
5. 为推动旅游发展，某旅行社设计了5条不同的旅游路线，分别记为、、、、．某团队要从中任选3条路线，在假期分三批组织队员出游，且路线和路线不能同时被选中，不同的选择及安排方法有（ ）
A. 24种B. 36种C. 42种D. 72种
6. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（ ）
A. 6B. 10C. 63D. 64
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）

A. 异面直线与的夹角的正弦值为1
B. 平面
C. 点与平面的距离为
D. 直线与平面所成的角为
10. 已知函数的部分图象过点，且相邻的对称轴与对称中心的水平距离为，图象最高点纵坐标为2．则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数
11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（ ）
A. （其中）B. 数列是递减数列
C. D. 数列的前项和
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则________．
13. 记为等差数列的前项和，若，则________．
14. 在一次数学竞赛中，甲乙丙丁戊5位同学得了前5名，老师让他们猜名次，甲说：乙第三，丙第五；乙说：丁第二，戊第四；丙说：戊第四，甲第一；丁说：丙第一，乙第二；戊说：丁第二，甲第三；老师说：你们每个人只猜对了一半，那么这五人从第一到第五名依次为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设的内角，，所对边的长分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，为的中点，求的长．
16. 已知函数；
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最大值．
17. 已知椭圆：的右焦点为，点和点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与交于另一点，求的最大面积．
18. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
假设用频率估计概率，且各设备之间状态相互独立．
（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；
（3）该工厂某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．
19. 国家耗资727亿建设的广西平陆运河让南宁成为了“临海城市”，将带动广西经济腾飞．平陆运河作为西南地区陆海新通道的关键工程，在某标段施工中涉及可用于支撑航道照明及水文监测的航道监测塔架的空间结构非常复杂，可抽象为空间四边形，如图所示．在空间四边形中，，，且，，，设为的中点，则
（1）若，证明；
（2）当三棱锥体积最大时，求三棱锥外接球的体积；
（3）记平面与平面的夹角为，求的最小值．
2023级“贵百河”5月高二年级新高考月考测试
数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】3
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】丁、乙、甲、戊、丙.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【16题答案】
【答案】（1）单调增区间，单调减区间为.
（2）答案见解析.
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，；
（3）①，理由见解析.
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
1
2
3
操作
经济损失
设备状态
保留观察
停机更换
检查维修
完好
0
10
5
损坏
12
5
7
发热情况
操作方案
编号
发热
未发热
①
检查维修
保留观察
②
停机更换
检查维修
③
停机更换
保留观察