广东省湛江市2024-2025学年高二下学期4月期中联考 数学试题（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题）
1．数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
4．若数列满足，则，则（ ）
A．B．C．D．2
5．从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（ ）
A．720B．1200C．1440D．1728
6．已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．0B．12C．16D．96
7．某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A．15种B．28种C．31种D．63种
8．函数在上的零点和极值点个数之和为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、多选题（本大题共3小题）
9．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
10．设函数，直线与曲线相切于点，则（ ）
A．对于给定的，任意的恒过定点B．对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C．与的交点的横坐标存在最小值D．与的交点的纵坐标存在最大值
11．已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．
C．和均为等比数列D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为 .
13．在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有 种（用数字表示）.
14．已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．
（1）共有多少种不同的情况；
（2）求甲做工作的概率．
16．已知为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.
17．已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）求的单调区间．
18．已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
（1）当时，证明：是等比数列；
（2）求的取值范围；
（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.
19．设函数．
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个极值点且，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写，
对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；
对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；
对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误；
对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；
故选B.
2．【答案】B
【详解】根据，a，可得：，；
解得，故.
故选B.
3．【答案】C
【详解】函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为，
所以．
故选C
4．【答案】D
【详解】，，，
，
故为周期数列，一个周期为4，故.
故选D
5．【答案】C
【详解】从1，2，5，7中任取3个数字有种方法，从4，6，9中任取2个数字有种方法，再把取出的5个数全排列共有，故一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．
故选C．
6．【答案】A
【详解】因为，
由题意，所以或，
经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.
故选A.
7．【答案】C
【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；
若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件的去法有种；
故该宿舍同学的去法共有种．
故选C．
8．【答案】C
【详解】令，所以或，
又，所以，，即在区间有5个零点，
，令，解得或，
又，所以在区间上有2个解，设为，且，
在区间上有2个解，设为，且，
当时，，，
故在上单调递减，
当时，，
故在单调递增，
故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，
所以在上的零点和极值点个数之和为9.
故选C
9．【答案】BD
【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，
与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；
若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，
《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，
故共有种观看顺序，故B正确；
若将6部电影每2部一组随机分为3组，
则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，
故分组方式为，故C错误；
若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；
按2和4，有种分组方式；
按3和3，有种分组方式，
所以共有31种分组方式，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，，因此切线方程为，
也即，恒过定点），故A正确；
对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；
对于CD，根据定义域知，
设，下面研究值域，因为，
当单调递增，当单调递减，
所以存在极大值（也就是最大值），
且当，所以的值域为，
也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．
故选ABD．
11．【答案】AC
【详解】对于A，令可得，令可得，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以
．故，故B错误；
对于C，由题意可得，所以数列是首项为，
公比为2的等比数列，所以，①，
同理可得，所以数列是首项为，
公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；
对于D，①－②得．所以，故D错误．
故选AC．
12．【答案】11
【详解】由等差数列的定义可得，则，
所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.
13．【答案】12
【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案；
（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.
综上：共有12种分配方案.
14．【答案】
【详解】，因为在上，且，可知与在处的切线平行或重合，
又因为，即，解得，
故在处的切线方程为，
分别整理得切线方程为，直线为0，
由平行直线间距离公式知，两直线间距离为．
15．【答案】（1）36
（2）
【详解】（1）甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
共有种情况．
（2）甲做工作的情况有2种：①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
故所求概率为．
16．【答案】（1）
（2）24
【详解】（1）解：当时，，因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，所以.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，故的最小值为24.
17．【答案】（1），无最小值．
（2）答案见解析.
【详解】（1）当时，，,
则，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
（2），
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
18．【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【详解】（1）由，得，又，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由，得，则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
，由，，得，.
等价于对于任意成立，即，
即，即，解得，
由点均为图象上的点，且，得，
所以的取值范围是.
（3）直线的斜率.
任取，设函数，求导得
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，，函数在和上都单调递增，
而数列单调递增，取，而，则，
取，而，则，
所以，即直线的斜率随单调递增．
19．【答案】（1）
（2）答案见解析.
（3）证明见解析
【详解】（1）的定义域为．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
（2）．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则，
，．
则单调递增．单调递减．
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.
等价于．
其中．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于，
由且得，
记，则，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．