广东省湛江市2024~2025学年高二下册4月期中联考数学试题【附解析】

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注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案.
【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写，
对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；
对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；
对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误；
对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；
故选：B.
2. 已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项即可求解.
【详解】根据，a，可得：，；
解得，故.
故选：B.
3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得.
【详解】函数在区间上的平均变化率为，
在时的瞬时变化率为，
所以．
故选：C
4. 若数列满足，则，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】求出的前5项，得到为周期数列，一个周期为4，故.
【详解】，，，
，
故为周期数列，一个周期为4，故.
故选：D
5. 从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（ ）
A. 720B. 1200C. 1440D. 1728
【答案】C
【解析】
【分析】先选后排，根据分步计数原理和排列数，组合数公式即可求出.
【详解】从1，2，5，7中任取3个数字有种方法，从4，6，9中任取2个数字有种方法，再把取出的5个数全排列共有，故一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．
故选：C．
6. 已知函数在处取得极大值，则（ ）
A. 0B. 12C. 16D. 96
【答案】A
【解析】
【分析】求导后利用极值点处导数为零求出参数，再验证后计算可得.
【详解】因为，
由题意，所以或，
经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.
故选：A.
7. 某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A. 15种B. 28种C. 31种D. 63种
【答案】C
【解析】
【分析】分甲和乙两名同学都去及甲和乙两名同学都不去两种情况应用分类加法原理及组合数运算求解.
【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为种；
若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件的去法有种；
故该宿舍同学的去法共有种．
故选：C．
8. 函数在上的零点和极值点个数之和为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】令解得或，求出满足的解的个数，然后利用导数及三角函数的图像与性质判断函数的单调性从而确定极值点的个数，求和即可.
【详解】令，所以或，
又，所以，，即在区间有5个零点，
，令，解得或，
又，所以在区间上有2个解，设为，且，
在区间上有2个解，设为，且，
当时，，，
故在上单调递减，
当时，，
故在单调递增，
故在[0，上有4个变号零点，即在上有4个极值点，
所以在上的零点和极值点个数之和为9.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ）
A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【答案】BD
【解析】
【分析】根据捆绑法计算求解A，应用全排列计算B，根据平均分组计算判断C，分类分组计算判断D.
【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，
与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；
若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，
《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，
故共有种观看顺序，故B正确；
若将6部电影每2部一组随机分为3组，
则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，
故分组方式为，故C错误；
若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；
按2和4，有种分组方式；
按3和3，有种分组方式，
所以共有31种分组方式，故D正确.
故选：BD.
10. 设函数，直线与曲线相切于点，则（ ）
A. 对于给定的，任意的恒过定点B. 对于给定的，存在一条直线，与的交点为定点
C. 与的交点的横坐标存在最小值D. 与的交点的纵坐标存在最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求得在处的切线方程，再根据直线过定点可判断A正确，结合A分析可知，存在使得其与的交点为定点，即B正确，构造函数并求出其单调性即可得出其存在最大值，可得C错误，D正确.
【详解】对于A，，因此切线方程为，
也即，恒过定点），故A正确；
对于B，由A知存在一条直线，使得与交于点，故B正确；
对于CD，根据定义域知，
设，下面研究值域，因为，
当单调递增，当单调递减，
所以存在极大值（也就是最大值），
且当，所以的值域为，
也就是横纵坐标均存在最大值1，不存在最小值，故D正确，C错误．
故选：ABD．
11. 已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A. B.
C. 和均为等比数列D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分别令，，求得判断A；利用，得，利用判断B；根据，判断C；根据C选项得，进而得到判断D.
【详解】对于A，令可得，令可得，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以
．故，故B错误；
对于C，由题意可得，所以数列是首项为，
公比为2的等比数列，所以，①，
同理可得，所以数列是首项为，
公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；
对于D，①－②得．所以，故D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____.
【答案】11
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式求出的表达式，进而得到的表达式，再根据求出的取值范围，最后确定满足条件的的最小值.
【详解】由等差数列的定义可得，则，
所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.
故答案为：11.
13. 在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）.
【答案】12
【解析】
【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案；
（2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案.
综上：共有12种分配方案.
故答案为：12
14. 已知是函数图象上一点，函数满足，则图象上的点到在处的切线的距离为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出导函数，设切点计数得出切线，再应用平行线间距离公式计算求解.
【详解】，因为在上，且，可知与在处的切线平行或重合，
又因为，即，解得，
故在处的切线方程为，
分别整理得切线方程为，直线为0，
由平行直线间距离公式知，两直线间距离为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．
（1）共有多少种不同的情况；
（2）求甲做工作的概率．
【答案】（1）36 （2）
【解析】
【分析】（1）算所有工作分配情况：因每人至少做一项，有一人做两项，先从项工作选项成一组，再将这组与另两项全排列给三人，用分步乘法计数原理得出总情况数．
（2）①算甲做工作情况：分两种．一是甲只做，从剩下项选项成组，再与另一项全排列给乙丙；二是甲做和、、中一项，先从、、选项给甲，再将剩下项全排列给乙丙，两种情况数相加．②算概率：用甲做工作的情况数除以总情况数．
【小问1详解】
甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作，故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，
共有种情况．
【小问2详解】
甲做工作的情况有2种：①甲只做工作，共有种情况；
②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况，
所以甲做工作的情况有种，
故所求概率为．
16. 已知为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值.
【答案】（1）
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据题意，当时，，两式相减，求得，结合累乘法，即可求得数列通项公式；
（2）由（1）得，结合裂项相消法，求得，得到不等式，进而求得的最小值.
【小问1详解】
解：当时，，因为，
两式相减，可得，
所以，可得，
又因为，，…，，
累乘得，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，可得，
所以，
所以，解得，故的最小值为24.
17. 已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）求的单调区间．
【答案】（1），无最小值．
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出导函数，根据函数单调性得出函数最大值；
（2）分和两类讨论，导函数正负进而得出函数的单调性.
【小问1详解】
当时，，
则，
则在上单调递减，
所以，无最小值．
【小问2详解】
，
（i）若，则，所以在单调递减；
（ii）若，则由得．
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，的单调减区间为（）；无单调增区间．
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
18. 已知函数，点均为曲线图象上的点，且，，.
（1）当时，证明：是等比数列；
（2）求的取值范围；
（3）证明：直线的斜率随的增大而增大.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并结合等比数列定义判断即得.
（2）由递推公式分别求出，将等价转化求出范围，进而求出的范围.
（3）直线的斜率为，构造函数，利用导数确定函数的单调性，并推理证得，再由，即可得证.
【小问1详解】
由，得，又，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
【小问2详解】
由，得，则，
因此数列与分别是以与为首项，6为公差的等差数列，
，由，，得，.
等价于对于任意成立，即，
即，即，解得，
由点均为图象上的点，且，得，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
直线的斜率.
任取，设函数，求导得
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，，函数在和上都单调递增，
而数列单调递增，取，而，则，
取，而，则，
所以，即直线的斜率随单调递增．
【点睛】关键点点睛：利用斜率坐标公式求出，再构造函数并探讨单调性是证明的关键.
19. 设函数．
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个极值点且，证明：．
【答案】（1）
（2）答案见解析. （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程；
（2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性；
（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．
【小问1详解】
的定义域为．
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为，
取得．
【小问2详解】
．
（i）时，在单调递增．
（ii）时，令，则，
，．
则单调递增．单调递减．
综上所得，
当时，上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得.
等价于．
其中．
因此待证式等价于，两侧同时加，得，
即证，等价于，
由且得，
记，则，
记，则，所以单调递减，
所以，则，所以单调递减，所以，证毕．