贵州省铜仁市第一中学2024-2025学年高三上学期10月模拟考试数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．记复数的共轭复数为，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
二、多选题：本题共3 小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列不等式正确的有（ ）
A．当时，的最大值是5
B．已知正实数满足，则
C．当时，
D．函数最小值为
10．设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（ ）
A．的周期是2
B．在上递减，在上递增
C．的最大值是2，最小值是1
D．当时，
11．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD中点O为圆心，OA为半径的半圆上，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分。共15分.
12．已知是等差数列，，则 ．
13．已知定义在R上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 .
14．在中，内角所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题13分）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16．（本题15分）已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，，求数列的前项和.
17．（本题15分）已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，右顶点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，若直线过点，与的左、右两支交于两点，且的面积为，求直线的方程．
18．（本题17分）已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
（3）设点、是函数图象上两个不同的点，令，证明：
19．（本题17分）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积；
(3)若，求实数的最小值.