数学：云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）试卷（解析版）

这是一份数学：云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了 已知，，则， 在中，，则的值为， 若，则的大小关系为， 定义在上的奇函数满足，， 已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由已知得，所以，
故选：B.
2. 若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为是方程的一个根，则，即，则，所以，
所以方程为，
所以方程的根为，
所以方程的另外一个根为，
故选：A.
3. 设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，，因为，所以，解得，
故选：B.
4. 在中，，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】在中，，
即，化简得，解得或（不合题意，舍去），
，
故选：C.
5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，如图，当时，异面，所以A错误，
对于B，如图，当时，，所以B错误，
对于C，如图，当时，，所以C错误，
对于D，如图设，在内作，因为，所以，
因为，所以∥，因为，所以，所以，所以D正确.
故选：D.
6. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为在上递增，且，
所以，即，
因为在上递增，且，所以，即，
因为，所以，所以，
故选：C.
7. 定义在上的奇函数满足，.当时，，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】由，得，即，
因为为奇函数，所以，
所以，所以
所以的周期，
所以.
因为为上的奇函数，所以，
因为当时，，所以，
由，当时，
所以.
故选：D.
8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】不等式对于一切实数恒成立，且，
，.
，使成立，，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】AD
【解析】由，得，
对于A，，故A正确；
对于B，的虚部为，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确，
故选：AD.
10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 点，与向量共线的单位向量为
B. 非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为
C. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且
D. 向量，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，则，所以与向量共线的单位向量为，故A错误；
对于B，因为，所以，则，
化简得，所以，即.
又，所以，故B正确；
对于C，由已知的且与不共线，所以且，故C正确；
对于D，因为，所以在上的投影向量的坐标为，故D正确，
故选：BCD.
11. 如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（ ）
A. 点到平面的距离为
B.
C. 直线与直线所成的角的正弦值为
D. 四棱锥的外接球半径为
【答案】ACD
【解析】A选项，如图1所示，作，交于，延长交于，连接，则，故为二面角的平面角，故，因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面，在平面中作，交于点，由面面垂直的性质可知平面，故的长即为点到平面的距离，在正三角形中，，
，故A正确；
B选项，为边的中点，故，因为平面，平面，所以，又，，平面，故平面，因为平面，所以，因为，，故为等边三角形，故，在中，，由勾股定理得，则，由勾股定理逆定理得与不垂直，故B错误；
C选项，连接，易得，，就是直线与所成的角，，故，所以，故C正确；
D选项，易得，故为底面梯形的外接圆的圆心，
设四棱锥的外接球的球心为，则平面，且.
若在平面的上方，如图1所示：设，外接球的半径为，
过作的垂线，垂足为，则，
易得，解得，舍去；
故在平面的下方，如图2所示：设，外接球的半径为，
过作的垂线，垂足为，则，易得，解得，，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设与的夹角为，则__________.
【答案】
【解析】由题意知，又，所以，
展开得，即，解得.
故答案为：.
13. 某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为__________.
【答案】
【解析】如图所示.
∵圆台的上、下底面面积分别为，，
∴圆台的上底面半径，下底面半径，
过点作于点，∴，.
∵圆台母线长为4，∴.
∴圆台得高，
∴圆台的体积.
故答案为：.
14. 对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为__________.
【答案】
【解析】由，作出它们的图象，如图所示，
则，作图如图，
令，即，
由图象可知，当时，与有4个交点，
故有4个零点，故的取值范围为.
故答案为：
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 如图，在中，.
（1）用表示；
（2）若点满足，证明：三点共线.
解：（1）因为，
所以，
所以.
同理，
所以.
（2）由，可得.
又，所以，又因为有公共点，
所以三点共线.
16. 若.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）若当时，的最小值为2，求的值.
解：（1），
函数的最小正周期.
令，
解得，
的单调增区间是.
（2），.
当，即时，函数取得最小值，.
17. 在中，角所对的边分别为，若.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，求的周长.
解：（1），
其中，
，
由正弦定理得，
，.
，∴；
（2），.
又，
，.
的周长为.
18. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
解：（1）如图，取的中点为，连接，则.
又平面平面，所以平面.
同理可证平面，
因为，平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）平面与平面垂直.
证明如下：因为底面底面，所以.
由题意知为直角三角形且，所以.
又平面，所以平面.
又平面，所以.
因为为的中点，所以.
又平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
19. 如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域.
（1）解：因为的“完美坐标”为.则.
又因为分别为正方向上的单位向量，且夹角成，
所以，则.
故.
（2）证明：由（1）知，，
所以
.
（3）因为向量的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，则.
因为，所以，即.
令.
因为的图象是对称轴为开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.