云南省多校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份云南省多校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知复数， 当取得最小值时，的值为， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册到第三册第六章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某天小雪要坐高铁或普通旅客快车从南昌市出发去昆明市，已知当天普通旅客快车有2个车次，高铁有12个车次，则小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有（ ）
A. 2种B. 14种C. 24种D. 30种
【答案】B
【解析】由分类加法计数原理，
得小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有种.
故选：B.
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，解得，则，
因为，所以，故D正确.故选：D
3. 若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A，为奇函数，A错误；
对于选项B，为非奇非偶函数，B错误；
对于选项C，，且，，，
则不是偶函数，C错误；
对于选项D，为偶函数，D正确.
故选：D.
4.若一个等比数列的前三项依次为，，,则这个等比数列的第四项为（ ）
A. B. C. 64D. 125
【答案】B
【解析】由题意得，解得，
则这个等比数列的公比，所以这个等比数列的第四项为.
故选：B.
5. 甲、乙、丙、丁等六人站成一排，则甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法数为（ ）
A. 144B. 120C. 240D. 576
【答案】A
【解析】由捆绑法可得甲、乙、丙、丁站在一起的排法数为：.
故选：A.
6. 已知复数（）的实部为12，设点的轨迹为曲线，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
即，所以点的轨迹为双曲线，则，
其离心率为.
故选：C.
7. 若正整数，的最大公约数为1，则称，互质.对于正整数，函数表示不大于的正整数中与互质的数的个数，例如：，.已知，均为大于11的正整数，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】在这12个数中，与12互质的数为，则，
在这13个数中，与13互质的数为，则，
在这12个数中，与14互质的数为，则，
即“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：D
8. 当取得最小值时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
当且仅当即，亦即时，等号成立，
所以当取得最小值时，.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，令，得，A正确.
对于B，令，得，又
所以，B错误.
对于C，因为，
所以，C正确.
令，得，D正确.
故选：ACD
10. 在梯形中，，，，，，与交于点，则（ ）
A.
B. 向量与平行
C. 向量在上的投影向量为
D. 梯形的面积为
【答案】BC
【解析】因为，所以，
则，A错误.
设，则四边形为平行四边形，
则，所以，B正确.
在中，，，，
则由余弦定理可得，，
则，
所以向量在上投影向量为，
即向量在上的投影向量为，C正确.
因为，则，
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为，D错误.
故选：BC.
11. 已知点,，，点在曲线：上，则（ ）
A. 存在无数个点，使得为定值
B. 存在无数个点，使得为定值
C. 直线与的所有交点的横坐标之积为
D. 直线与的所有交点的横坐标之和大于5
【答案】ABD
【解析】由，得，
即4或，
所以曲线由圆与椭圆组成，且圆的圆心为，椭圆的焦点为，故A，B均正确.
将代入，得，
由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，
则，，
将代入，得，
由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，，
则，，则，
，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为________，它出现的频率为_____.
【答案】4；
【解析】数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为4，它出现的频率为.
故答案为：4；.
13. 曲线在点处的切线的斜率为________.
【答案】
【解析】因为，
故曲线在点处的切线的斜率为.
故答案为：.
14. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有________种.

【答案】192
【解析】先给2，5染色，有种方法.
若1和5同色，则4有2种涂法；
若1和5不同色，则4有种涂法.
因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种.
故答案为：192.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
（1）求的解析式；
（2）求图象的对称轴方程；
（3）若，求.
解：（1）依题意可得.
（2）由（1）知：，令，
解得：，，
故的对称轴方程为：.
（3）由，得，则，
故.
16. 已知抛物线：（）的焦点为，直线：与交于，两点.
（1）求的方程.
（2）求的取值范围.
（3）设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为，所以，的方程为.
（2）由得，
则，
得，即的取值范围为.
（3）设，，由（2）知，，
设线段的中点为，则，，
假设存在，使得，则，
所以，
解得，故存在，使得.

17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且.
（1）证明：.
（2）设平面与平面的交线为.
①证明：.
②若为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
解：（1）因为平面平面，平面平面，，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，，所以平面.
又平面，所以.
（2）①因为，平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面平面，所以.
②过点在平面内作，则平面，
又因为，
所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
设，则，，.
设平面的法向量为，则
令，则.
设直线与平面所成的角为，则.
令，所以
，
当且仅当时，取得最大值.
18. 已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）若在上有个零点，求的取值范围.
解：（1）依题意得对恒成立，
即对恒成立，
所以，即的取值范围是.
（2）由题知，的定义域为，
又，
当时，在上单调递增.
当时，令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，
则在上至多有个零点，则不符合题意.
当时，要使得在上有个零点，
则，即，且，
设函数，
则，所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以.
由，得.
即的取值范围为.
19. 对于给定的数列，数列是的生成数列，且，，，当时，删除，，…，中的最小值与最大值，剩余个数的平均数为.
（1）若数列是数列的生成数列，求.
（2）若数列是数列的生成数列，求数列的前（）项和.
（3）设数列是数列的生成数列.
①证明数列为等差数列；
②设表示不大于的最大整数，，求数列的通项公式.
解：（1）易知数列的前5项分别为，，，0，5，
删除最小值，最大值5，
则.
（2）因为数列单调递增，
所以，，…，中的最小值与最大值分别为，，...
，，，
当时，，
.
设，
则，
则
，
即.
故.
（3）①因为数列单调递增，
所以，，…，中的最小值与最大值分别为，，
则当时，，
所以，所以数列为等差数列.
②由①及，得，
令，，则，，
则，
所以.
因为，所以，
所以.