2024-2025学年云南“美美与共”民族中学联盟高二下学期联考（一）数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南“美美与共”民族中学联盟高二下学期联考（一）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合M=x| xb，则( )
A. csa−csb>0B. 1a2−1b2>0
C. lga+lgb>0D. 13a−13bb>0的左、右焦点，若直线y= 3x椭圆C相交于P，Q两点，且PQ=F1F2，则椭圆的离心率为( )
A. 2− 3B. 2− 2C. 3−1D. 2−1．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的命题有( )
A. 已知a,b,c为空间的一个基底，若d=a+c，则a,b,d也是空间的基底
B. 已知直线l的方向向量为e=1,0,3，平面α的法向量为m=−2,0,23，则直线l/​/α
C. 若直线l的方向向量为e=1,0,3，平面α的法向量为n=−2,0,2，则直线l与平面α所成角的正弦值为 55
D. 若a⋅b0在0,π4上单调递增，则ω的取值范围为0,43
D. 将fx图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移π4个单位长度，得到gx的图象，则gx=sinx−π12
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. OA⋅OB=−2
B. 若点N3,1，则BN+BF的最小值为4
C. AF+4BF的最小值为9
D. 若抛物线的准线与x轴的交点为M，则∠OMA=∠OMB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1−5,0，F25,0，点P是双曲线C上的点，且PF1=12，PF2=10，则双曲线C的方程为 ．
13.已知圆C:x2+y2−4y−m=0的面积为2π，则m= ．
14.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，A1B1= 2，AB=2 2，该正四棱台的外接球的表面积为20π，则该正四棱台的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球．
(1)从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率；
(2)若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 3b=a 3csC+sinC．
(1)求A；
(2)若a= 3，b=2 3csB，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知直线l:x−my+1=0与圆C:(x−1)2+y2=4交于A，B两点．
(1)写出直线l恒过的定点E，并求出过点E且与圆C相切的直线方程；
(2)求出满足“▵ABC的面积为85”的m的所有值．
18.(本小题17分)
在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形，AF⊥平面ABCD，DE//AF，且AF=AD=BD=12DE=1，AB= 2．
(1)求证：BF//平面CDE；
(2)求二面角C−BE−F的正弦值；
(3)在棱DE上是否存在点H，使得直线AH与BE所成角的余弦值为 105，若不存在，请说明理由；若存在，求线段DH的长．
19.(本小题17分)
已知点F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，椭圆C的离心率为12，点P为椭圆C上的一动点，且PF1的最大值为3，过F1的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若F2A⊥F2B，求直线l的方程；
(3)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形MAOB是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.D
8.C
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.x2−y224=1
13.−2
14.6 19+10或6 3+10
15.【详解】(1)总共有6个球，其中红球1个，蓝球3个，
抽到红球或蓝球的情况数为1+3=4种，
则由古典概型概率公式得抽到红球或蓝球的概率P=46=23．
(2)由题意得总共有6个球，则每次抽到白球的概率为26=13，
因为是有放回抽取，两次抽取相互独立，所以两次都抽到白球的概率P=13×13=19．

16.【详解】(1)已知在▵ABC中， 3b=a 3csC+sinC，
由正弦定理边角互化得到 3×2RsinB=2RsinA 3csC+sinC，
则 3sinB=sinA 3csC+sinC，
因为A+B+C=π，所以B=π−A+C，
那么sinB=sinπ−A+C=sinA+C，
故 3sinA+C=sinA 3csC+sinC，
展开 3sinA+C得 3sinAcsC+csAsinC=sinA 3csC+sinC，
即 3sinAcsC+ 3csAsinC= 3sinAcsC+sinAsinC，
得到 3csAsinC=sinAsinC，
因为C∈0,π，所以sinC≠0，等式两边同时除以sinC，可得 3csA=sinA．
则tanA=sinAcsA= 3，又因为A∈0,π，所以A=π3
(2)已知a= 3，b=2 3csB，
由正弦定理asinA=bsinB，将a= 3，A=π3代入可得 3sinπ3=bsinB，即 3 32=bsinB，所以b=2sinB，
又因为b=2 3csB，所以2sinB=2 3csB，即tanB=sinBcsB= 3，
由于B∈0,π，所以B=π3，所以C=π−A−B=π3，
可知▵ABC是等边三角形，a= 3，根据三角形面积公式S▵ABC= 34a2，
将a= 3代入可得S▵ABC= 34× 32=3 34．

17.【详解】(1)直线l:x−my+1=0，对任意实数m，当y=0时，x=−1恒成立，
所以直线l恒过定点E(−1,0)；
而定点E在圆C:(x−1)2+y2=4上，
所以过点E且与圆C相切的直线只有一条，方程为x=−1．
(2)圆C:(x−1)2+y2=4的圆心为C(1,0)，半径r=2，
圆心C到直线x−my+1=0的距离d=2 1+m2，
AB=2 r2−d2=2 4−41+m2=4m 1+m2，
S▵ABC=12×ABd=4m1+m2=85，解得m=2或m=−2或m=12或m=−12，
所以所求m的所有值为m∈{−2,−12,12,2}．

18.【详解】(1)如图，取DE的中点M，连接MF，MC，
因为AF=12DE，DE//AF，
所以AF//DM且AF=DM，
所以四边形ADMF是平行四边形，
所以AD//MF且AD=MF，
又因为AD//BC且AD=BC，所以MF//BC且MF=BC，
所以四边形BCMF是平行四边形，所以BF//CM，
因为BF⊄平面CDE，CM⊂平面CDE，
所以BF//平面CDE；
(2)因为AF=AD=BD=12DE=1，AB= 2，
所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，
因为AF⊥平面ABCD，DE//AF，
所以DE⊥平面ABCD，所以DE，DA，DB两两垂直，
以DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
则B0,1,0，E0,0,2，C−1,1,0，F1,0,1，
所以BC=−1,0,0，BE=0,−1,2，BF=1,−1,1，
设平面CBE的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅BC=−x=0,n⋅BE=−y+2z=0,令z=1得，n=0,2,1，
设平面FBE的一个法向量为m=a,b,c，
则m⋅BF=a−b+c=0m⋅BE=−b+2c=0，令c=1，则m=1,2,1，
所以csm,n=m⋅nm⋅n=0×1+2×2+1×1 5× 6= 306，
所以二面角C−BE−F的正弦值为 66；
(3)假设在棱DE存在点H，使得直线AH与BE所成角的余弦值为 105，
设H0,0,ℎ0≤ℎ≤2，则AH=−1,0,ℎ，又BE=0,−1,2，
所以csAH,BE= 105，即2ℎ 1+ℎ2⋅ 5= 105，
所以ℎ2=1，解得ℎ=1或ℎ=−1(舍去)，
因此适合条件的点H存在，且线段DH的长为1．

19.【详解】(1)依题意得：ca=12a+c=3a2=b2+c2，解之得a=2，b= 3，c=1，
因此，椭圆C的方程为x24+y23=1
(2)由已知可设直线l的方程为x=my−1m∈R，
由x=my−1x24+y23=1，得3m2+4y2−6my−9=0
设Ax1,y1，Bx2,y2，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
因为F2A⊥F2B，所以F2A⋅F2B=0，
所以F2A⋅F2B=x1−1x2−1+y1y2=my1−2my2−2+y1y2
=m2+1y1y2−2my1+y2+4=−9m2+13m2+4−12m23m2+4+4=−9m2+73m2+4=0，
解得m=± 73，因此直线l的方程为x=± 73y−1，即为x± 73y+1=0
(3)假设椭圆C上存在点M，使得四边形MAOB是平行四边形且设Mx0,y0，
由(2)得线段AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22，即−43m2+4,3m3m2+4，
因为四边形MAOB是平行四边形，
所以x0=−83m2+4，y0=6m3m2+4
因为点M在椭圆C上，所以x024+y023=1，即3x02+4y02−12=0．
所以3⋅643m2+42+4⋅36m23m2+42−12=0，
所以−9m4−12m23m2+42=0，解得m=0，
因此点M的坐标为−2,0，
综上，椭圆C上存在点M，使得四边形MAOB是平行四边形且点M的坐标为−2,0．