2025年中考数学第三次模拟考试卷：数学（山东统考卷）（解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．先求出每个数的绝对值，再比较即可．
【详解】解：，，，
∵，
∴四个数中绝对值最大的数是．
故选：D．
2．未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：．
3．随着“一带一路”走深走实，中国已成为140多个国家和地区的主要贸易伙伴．近十年国内生产总值年均增长，达到121万亿元，是全球经济发展的最大动力源．数据“121万亿元”用科学记数法表示为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将“121万亿元”写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：121万亿元．
故选D．
4．如图所示的几何体由五个大小相同的小正方体组合而成，将其中一个小正方体移动位置得到如图所示的几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．主视图不变B．左视图不变C．俯视图不变D．三视图均不变
【答案】B
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：图和图中，从左面看都是有两列，且左边一列有两个正方形，右边一列有一个正方形，因此左视图不变．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式、幂的乘方运算、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，多项式除以单项式，积的乘方运算，完全平方公式的应用，根据各自的运算法则一一计算即可得出答案．
【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
6．将一副三角板按如图方式放置，使，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行内错角相等、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了三角板的认识，三角形的外角，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，，，由，得到，再结合，得到答案．
【详解】解：设与，分别交于点，，如图所示：
由题意可知，，，
，
，
是的外角，
．
故选：D．
7．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键．
先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验，当，即方程无意义，故，
∵关于的方程的解为正数，
∴，即．
综上，的取值范围为且．
故选B．
8．从，，，，中任取两数作为，，使抛物线的开口向上，对称轴在轴左侧的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了列表法与树状图法，二次函数的性质，概率公式，首先根据题意得到，，然后利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴，，
∴；
列表如下：
∴共有20种等可能结果，其中使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的有2种结果，
∴使抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧的概率为．
故选：B．
9．如图，已知矩形，点E是边的中点，，与相交于点F，连接，下列结论：①；②③④，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，设，得出，勾股定理求出，过点作，延长交于点，证明四边形是矩形，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，，，故，③错误；求出，，即可判断①正确；表示出，得出，即可判断②错误；勾股定理求出，根据等面积法即可判断④．
【详解】解：∵点E是边的中点，，
设，
∵四边形是矩形，
，，
∴，
过点作，延长交于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
，
，
，
∴，，，故，③错误；
，，
∴，故①正确；
∴，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴不垂直，故④错误；
∴正确的是①，共1个，
故选：A．
10．三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售：
甲超市第一次降价，第二次降价；
乙超市第一、二次降价均为；
丙超市一次性降价．
其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（ ）
A．甲超市B．乙超市C．丙超市D．一样多
【答案】B
【知识点】列代数式、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查的是列代数式，利用完全平方公式分解因式，设商品原价为1，可得甲超市的价格为，乙超市的价格为，丙超市的价格为，设，，再进一步计算与比较大小即可．
【详解】解：设商品原价为1，
甲超市的价格为，
乙超市的价格为，
丙超市的价格为，
设，，
∴，
，
，
∵，则，
∴，
∵
，
∴到乙超市购买最贵．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．
先提出公因式，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．若是关于x的方程的两实数根，且满足，则k的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程有两实数根，且，
∴，
解得．
又是方程的两个根，
则，，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
故．
故答案为：3．
13．已知关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为 ．
【答案】
【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题目的条件得到是解答本题的关键．
先求解不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解得，进而得到满足条件的整数的值，再求和即可．
【详解】解：解不等式组，得，
不等式组有且仅有个整数解，
，
，
所有满足条件的整数的值分别为，，，，，
所有满足条件的整数的和为，
故答案为：．
14．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 ．
【答案】
【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形
【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为；
故答案为：
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
15．如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则 °．

【答案】85
【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理
【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可．
【详解】解：如图，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：85．
16．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下图案：
结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数 时，使得红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多台．
【答案】8
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形规律，根据题意总结规律是解题的关键，根据所给图形，分别求出图形中〇和△的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第个图案中〇的个数为，△的个数为；
第个图案中〇的个数为，△的个数为；
第个图案中〇的个数为，△的个数为；
…，
所以第个图案中〇的个数为个，△的个数为（）个．
由得，
（舍去），，
所以的值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中m满足．
【答案】（1）；（2），
【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、零指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可；
（2）先将括号内的分式通分并计算后再利用分式的乘除法则化简，再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴原式．
18．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
(2)__________，__________，__________；
(3)从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)①18；②见解析
(2)5；；3
(3)
【知识点】求众数、列表法或树状图法求概率、折线统计图、求中位数
【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键：
（1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可；
（3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①；
故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下，
（2）由条形图可知，得到5分的人数最多，故；
由扇形图可知：；
由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分，
∴；
（3）由题意，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴．
19．根据以下材料，探索完成任务．
问题解决：
(1)确定斜坡坡度：如图1，求的值；
(2)如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明．
【答案】(1)的值为
(2)闸门没有打开，理由详见解析
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）直接根据坡度的定义求解即可；
（2）过点作于，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达点的时间，从而得解．
【详解】（1）解： ，，长，
的值为：；
（2）解：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开．
20．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积；
(3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为；
(2)16
(3)点E的坐标为．
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用的面积，即可求解；
（3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题．
【详解】（1）解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
（2）解：设一次函数与x轴交于点D，
令，则，令，则，
∴的面积；
（3）解：设点E的坐标为，
过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∵，点E的坐标为，
∴，，
∴点F的坐标为．
∵点F在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
所以点E的坐标为．
21．如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径和阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)的半径为，阴影部分的面积为
【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接，，由等边对等角得，由角平分线的定义得，所以，进而求得，再结合得，即可得解；
（2）连接，，由得，证明是等边三角形得，进而求得，所以，，
由解直角三角形的知识得，所以，最后根据扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
即的半径为，阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，由特殊三角函数值求角度，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
22．已知二次函数（a为常数，．
(1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若，求证：当时，．
(3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）证明即可解决问题．
（2）将代入函数解析式，进行证明即可．
（3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：因为，
又因为，
所以，，
所以，
所以该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）证明：将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下．
则当时，
随的增大而增大，
又因为当时，，
所以．
（3）对称轴为直线，顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，，
即，解得：
②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时
即，解得，
综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），
故答案为：或．
23．在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数；
（2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数；
（3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．
平均数
中位数
众数
第1小组
3.9
4
a
第2小组
b
3.5
5
第3小组
3.25
c
3
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1
探究车牌识别系统的识别角度
材料1
某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长．
材料2
图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：）
材料3
汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（）