河南省郑州市高新区九校2024-2025学年九年级下学期4月联考 数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市高新区九校2024-2025学年九年级下学期4月联考 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．某种病毒的粒子形状不规则，其平均直径约是，数据转化为以m为单位后（），用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A．调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查
B．对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查
C．调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
D．企业对招聘人员面试，采用抽样调查
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．5B．8C．12D．2
8．几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示对应位的小正方体的个数，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
9．在化学实验中，小明研究，，三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度曲线．请根据图象回答下列问题中错误的是（ ）
A．，，三种物质的溶解度都随温度的增加而变大
B．温度为时，，，三种物质的溶解度由大到小的顺序是
C．温度为时，，，三种物质的溶解度由大到小的顺序是
D．温度为时，，两种物质的溶解度相等
10．如图，平面直角坐标系中，，，，将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．已知三角形的三边长分别是，，，请写出一个可能的取值 ．
12．不等式组的解集是 ．
13．如图是两个可以自由转动的转盘、，转盘分成3个大小相同的扇形，转盘分成4个大小相同的扇形，小明和小亮两个人做游戏，游戏规则如下：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时小明获胜；数字之和为奇数时小亮获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．那么小明获胜的概率是 ．
14．如图，半圆中，点，为弧的三等分点，连接，，若，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，平行四边形中，，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，直线交于点，若，，当点与点重合时，长为 ，当有最小值时，的长为
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．泌阳花菇，河南省驻马店市泌阳县特产，中国国家地理标志产品．泌阳花菇朵圆、肉厚、质地细腻、色泽洁白、爆花自然、口感鲜嫩、菇香浓郁．另外，泌阳独特的自然环境也决定了“菇中之皇”的称谓．为检测泌阳花菇的质量，该县质量检测部门从甲、乙两农户的花菇中各随机抽取30粒，测量其伞盖直径（单位：mm），然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
A．两农户的花菇的伞盖直径统计表：
B．两农户的花菇的伞盖直径的平均数、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）该县质量检测部门进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）；
①从数量足够多的两农户花菇中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两农户花菇分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
（2）写出，，的值；
（3）某外地客商准备从这两个农户的花菇中选购一批运回销售，根据客商要求，花菇大小要均匀，那么你应向该客商推荐选购______（填“甲”或“乙”）农户的花菇，理由是______．
18．在无人机社团活动中，小明用无人机测量学校家属楼的高度，当无人机飞到点处时，测得家属楼顶端的俯角为，飞行到处时，测得家属楼底端的俯角为，已知无人机的飞行高度为，若点，，，在同一个平面内，求家属楼的高度（答案精确到整数．参考数据：，，）．
19．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（3）求点的坐标．
20．初春时节，草莓飘香，某果品店购进一批质量相等的奶油草莓和普通草莓，其中购买奶油草莓用了400元，购买普通草莓用了240元，已知每千克奶油草莓的进价比每千克普通草莓贵8元．
（1）求每千克奶油草莓与普通草莓的进价；
（2）第一次进货售完后，果品店准备再次购买两种草莓100千克，已知两种草莓每千克的进价不变，且再次购买的费用不超过1500元，若奶油草莓的销售单价为25元，普通草莓的销售单价为15元，则该果品店应如何进货，可使第二批的两种草莓售完后获得利润最大？最大利润是多少？
21．周末，爸爸妈妈带着小明和小红兄妹俩去游乐场游玩，乘坐如图1的摩天轮时，他们排队依次登上摩天轮．如图2，妈妈带着小明和小红在水平地面处登上摩天轮，当妈妈乘坐的座舱升到点时，小明和小红在处和处（点在点的正上方），爸爸还在水平地面处排队等候登轮．已知点为弧的中点，切于点，点，，在一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求爸爸和小明的距离的长．
22．某班“迎五四青年节”活动将举行掷篮球比赛，小明不知道比赛规则，只知道将篮球掷出的距离．为取得好成绩，小明在课余时间进行了练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，球的运动路线近似为抛物线的一部分（把篮球看做一个点）．为了研究这个过程，小明建立了如图所示的平面直角坐标系，其中，以水平地面为轴，点距离轴且距离水平地面（轴），点距离轴，抛物线经过轴于点，抛物线的解析式为．
（1）①求抛物线的解析式；
②求抛物线的顶点坐标；
（2）比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以处为中心放做一个高为，直径为的圆筐，其截面为矩形，若抛物线恒过，两点．
①求与之间满足的关系式；
②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围．
23．定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”．
（1）操作判断：
用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）；
（2）性质探究：
①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为______，的度数为______；
②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：；
（3）四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据相反数的定义，进行作答，即可求解；
【详解】解：的相反数是，
故选B；
2．【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
3．【答案】C
【分析】根据抽样调查样本的代表性，可操作性结合具体问题情境综合进行判断即可．
【详解】解：A．为了调查观众对《哪吒2》的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B．对某批次的新能源电池使用寿命检测，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C．调查河南省中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D．企业对招聘人员面试，采用全面调查，故本选项不符合题意．
故选C．
4．【答案】C
【分析】利用同底数幂的除法法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，合并同类项法则，对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
，则C符合题意；
，不是同类项，无法合并，则D不符合题意；
故选C．
5．【答案】A
【分析】先利用平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：
，
，
，
是的一个外角，
，
，
故选A．
6．【答案】A
【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜9，
m的值可能是：8．
故选A.
7．【答案】A
【分析】由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
于点，于点，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故选A．
8．【答案】D
【分析】观察图形可知，该几何体的主视图有列，从左到右正方形的个数分别为、、，由此即可得解．
【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图有列，从左到右正方形的个数分别为、、，
故选D．
9．【答案】C
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【详解】解：由图象可知，
A、，，三种物质的溶解度都随温度的增加而变大，故正确，不符合题意；
B、温度为时，，，三种物质的溶解度由大到小的顺序是，故正确，不符合题意；
C、温度为时，，，三种物质的溶解度由大到小的顺序是，故错误，符合题意；
D、温度为时，，两种物质的溶解度相等，故正确，不符合题意；
故选C．
10．【答案】B
【分析】根据所给旋转方式可知每旋转8次，点的坐标重复出现，再根据平移的性质求出点旋转后的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴每旋转8次，点的坐标重复出现，
∵，，
∴点绕点顺时针旋转，
∵，
∴将点向右平移1个单位至坐标系原点位置时，点坐标为，
∴旋转秒旋转后点的坐标为，
∴平移回坐标系后，点点的坐标为，
故选B．
11．【答案】（答案不唯一）．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是，，，
∴，
∴，
∴可能的取值为.
12．【答案】
【详解】解：
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是.
13．【答案】
【分析】根据画树状图法求概率即可，
【详解】解：画树状图如图，
一共有种等可能的结果，其中数字之和为偶数的结果有种，
∴小明获胜的概率是.
14．【答案】
【分析】学会用割补法求阴影部分面积．连接，根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：连接，
∵半圆中，点，为弧的三等分点，
，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积 .
15．【答案】
【分析】由角平分线的定义及平行四边形的性质可知，当和重合时，过作，交延长线于点，设，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可；由可知，当最小时，最小，而时最小，此时为等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：如图，过作，交延长线于点，
∵以为对称轴折叠得到，
∴，，
∵平行四边形中，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，
，，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴长为；
由前面可知：，
∴，
∴当有最小值时，则最小，而时最小，如图所示，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴的长为.
16．【答案】（1）8；（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】解：（1）


；
（2）


．
17．【答案】（1）②
（2），，的值分别为，，
（3）甲；甲农户花菇的方差小，花菇大小均匀
【分析】对于（1），根据数据要有代表性判断即可；
对于（2），根据加权平均数的定义求出a，再根据中位数，众数的定义解答即可；
对于（3），根据方差的性质解答．
【详解】（1）解：抽样调查要有代表性，所以要将数量足够多的两农户花菇分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各抽取30粒.
（2）解：甲农户花菇的伞盖直径的平均数，
乙农户花菇的伞盖直径的第15个和第16个数据是50和51，则中位数为，
甲农户花菇的伞盖直径的众数为，
答：，，的值分别为，，；
（3）解：甲，
理由：甲农户花菇的方差小，花菇大小均匀．
18．【答案】25米
【分析】过作，交的延长线于C，设，则，得到，解方程即可求出答案．
【详解】解：过作，交的延长线于C，如图所示：
设，则，
∵，，
∴在中，，
在中，，
，
解得：，
答：家属楼的高度约为25米．
19．【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】（1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解；
（2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解；
（3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
，四边形为菱形，
，即轴，，
轴．
可设．
，
，，．
在中，，
．
．
．
．
反比例函数的解析式为；
（2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下．
（3）解：由题意，是的中点，，
．
轴，
的纵坐标为．
在反比例函数，
的横坐标为．
．
．
20．【答案】（1）每千克奶油草莓为20元，每千克普通草莓为12元
（2）购买37.5千克奶油草莓，62.5千克普通草莓，获得利润最大，最大利润是375元
【分析】（1）设每千克普通草莓为元，则每千克奶油草莓是元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设可再购买千克奶油草莓，则购买千克普通草莓，根据题意列出不等式得出，设总利润为元，根据题意表示出，然后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每千克普通草莓为元，则每千克奶油草莓是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
（元），
答：每千克奶油草莓为20元，每千克普通草莓为12元；
（2）设可再购买千克奶油草莓，则购买千克普通草莓，
根据题意，得，
解得；
每千克奶油草莓的利润为：（元），
每千克普通草莓的利润为：（元），
设总利润为元，
根据题意，得，
因为，
所以随的增大而增大，
所以当时，有最大值，，
此时，，
答：该果品店购买37.5千克奶油草莓，62.5千克普通草莓，获得利润最大，最大利润是375元．
21．【答案】（1）见详解
（2）爸爸和小明的距离的长为．
【分析】（1）连接，求得，推出，利用平行线的判定定理得到；
（2）连接，证得，由正切函数得到，求得，，再在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
∴．
答：爸爸和小明的距离的长为．
22．【答案】（1）①；②
（2）①；②
【分析】（1）①运用待定系数法求函数解析式即可；
②把解析式配方为顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）①把点A的坐标代入解析式得到a和b的关系式即可；
②分别求出点D、G的坐标，代入解析式求出b的值，即可得到b的取值范围．
【详解】（1）解：①由抛物线，过点，，
得，
∴
∴；
②∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
（2）解：①∵点的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，整理得：；
②∵，圆筐的截面为矩形，
∴，，
当抛物线经过点时，，解得：；
当抛物线经过点时，，解得：；
综上可得：，
23．【答案】（1）②④
（2）①，；②见详解
（3）或
【分析】（1）按照“奋进四边形”的定义逐个判断即可；
（2）①根据“奋进四边形”的定义进行求解即可；
②连接，根据等腰三角形性质得出，证明，根据等边三角形的判定得出答案即可；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：图①中有两组对角相等，图③没有一组对角相等，因此不是奋进四边形，图②和图④有一组对角相等，是奋进四边形.
（2）解：①∵四边形是“奋进四边形”，，，，
∴，；
②证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当时，如图2，延长、交于点，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，作于点，于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，对角线的长为或．花菇的伞盖直径（mm）
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
甲农户花菇个数
5
10
6
7
2
0
0
0
0
0
乙农户花菇个数
0
0
2
3
6
4
5
4
4
2
平均数
中位数
众数
方差
甲农户花菇
46.5
1.4
乙农户花菇
50.5
49
3.9