贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题

这是一份贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B. C. D.
2.等差数列的前n项和为，若，则( )
A. B. C. 1D.
3.一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分的数学期望等于( )
A. 5分B. 分C. 分D. 分
4.为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是( )
A. 某学生从中选2门课程学习，共有20种选法
B. 课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
5.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为( )
A. B. C. D.
6.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
7.在数列中，，，则( )
A. 2B. C. D.
8.在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，，，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且，则( )
A. 8B. 12C. 16D. 20
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，若函数为偶函数，则
C. 数据第80百分位数是8
D. 样本甲中有m件样品，其方差为，样本乙中有n件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为
10.设函数，则
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
11.已知数列的通项公式为，在中依次选取若干项至少3项，，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是( )
A. 若取，，则
B. 满足题意的也必是一个等比数列
C. 在的前100项中，的可能项数最多是6
D. 如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为__________.
13.记正项数列的前n项和为，若，，则的最小值为__________.
14.已知函数，其中表示p，q中的最大值，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
假设，
ⅰ为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段的比赛？
ⅱ为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
16.本小题15分
已知函数
当时，求的极值；
当时， ，求a的取值范围．
17.本小题15分
已知等比数列的前n项和为，且
求的通项公式；
求数列的通项公式.
18.本小题17分
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
填写如下列联表：
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？
附：，
19.本小题17分
记
若，求和；
若，求证：对于任意，都有且存在a，使得
已知定义在R上的函数有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意的正实数c，均有
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数，丙不在排头，且甲或乙在排尾，由此能求出甲、乙二人相邻的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
【解答】
解：甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，基本事件总数，
丙不在排头，且甲或乙在排尾
甲、乙二人相邻的概率
故选：
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式以及求和公式，是基础题.
利用根据等差数列的求和公式得出与d关系，可得结果.
【解答】
解：由 ，根据等差数列的求和公式，
，
又 .
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的期望，属于基础题．
的取值为4，5，6，然后分别求出对应的概率，然后根据数学期望的公式解之即可.
【解答】
解：由题可得的取值为4，5，6，
则，，，
所以分
故选：
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查相邻的排列问题，不相邻的排列问题，排列与组合的综合应用，属于基础题.
根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；不相邻问题利用插空法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确；利用特殊位置法可以判断D正确.
【解答】
解：对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A错误；
对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C错误；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求曲线上一点的切线方程，属于中档题.
运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.
【解答】
解：由，
则，
，
所以在处切线的方程为，
令，得，
令，得，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为
故选：
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查导数几何意义，属于中档题.
借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【解答】
解：，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
故选：
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查数列的周期性，以及数列的递推公式，属于基础题.
逐项计算，再根据数列的周期性求解即可.
【解答】
解：由题意，，，
，
故数列满足，
故
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程、样本中心点，属于中档题.
设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，剔除两对数据后的x，y的平均数分别为，然后结合以及经验回归方程计算即可.
【解答】
解：设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，剔除两对数据后的x，y的平均数分别为，
因为，所以，
则，
因为两对数据为和，
所以，
所以，
所以，
解得
故选：
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查二项分布的方差或标准差，正态分布的概念与正态密度函数，百分位数，分层随机抽样的方差，属于中档题.
利用二项分布的方差公式及方差性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断
【解答】
解：对于A，因为，
所以，
，A正确；
对于B，因为函数为偶函数，
所以，
，
所以区间和区间是关于的对称区间，
所以，B正确；
对于C，因为，所以数据第80百分位数是8，C正确；
对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为，
由甲乙组成的总体样本的方差为，
D不正确.
故选：
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值点，并根据单调性比较大小，属于中档题.
首先利用导数研究函数的单调性，然后可逐一判断即可.
【解答】
解：因为，
当或时，，当时，，
所以在和内递增，在内递减.
对于A，是的极小值点，A正确；
对于B，当时，，所以，B错误；
对于C，当时，，所以，又，，所以，C正确；
对于D，当时，，所以，D正确.
故选
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查等比数列的判定或证明，等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列通项公式中的基本量计算，属于中档题.
对于A：根据等比数列性质运算求解即可；对于B：根据等比数列定义分析判断；对于CD：举反例说明即可.
【解答】
解：由题意可知：，设的公比为，
对于A：若取，，则，，
则，即，解得，
可得，即，故A正确；
对于B：显然，
因为，
可知是以公比为q的等比数列，故B正确；
对于C：例如，即，
由选项B的分析可知：，的公比均为，
则，令，解得，
即在的前100项中，的有7项，故C错误；
对于D：例如，即，
由选项B可知：，的公比均为，
此时当时，，即数列是有限数列，故D错误.
故选：
12.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查二项式的通项和指定项的系数，属于基础题.
根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【解答】
解：因为的展开式的通项为，
令，可得，
所以常数项为
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的前n项和及与的关系，考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.
首先利用与的关系，求出，得到，然后构造函数利用导数研究其单调性，再根据
的值的特征即可判断并求出的最小值.
【解答】
解：因为，并且，
所以当时，，；
当时，由，
得：，，
所以数列是首项为1，公差也为1的等差数列，
从而，
于是
构造函数，
因为，
所以当时，，递减，
当时，，递增，
又因为，
而，，
所以当且仅当时，取得最小值，最小值为
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的零点，是中档题，
令，，结合导数的应用分析零点可求得实数a的取值范围
【解答】
解：令，，
当时，，在区间内无零点;
当时，，，
当，即时，为函数的零点.
当时，令，则，
令，则，令，则，
在区间上单调递减，区间上单调递增，，
当时，在区间内有两个零点.
综上，当时函数有三个零点.
15.【答案】解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中一次，乙第一阶段也至少投中一次，所以比赛成绩不低于5分的概率
甲在第一阶段参赛时，得15分的概率为，
同理，
则，
，，，，
，应将甲安排在第一阶段参赛.
甲在第一阶段参赛时，比赛成绩记为X，则X的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
则，
乙在第一阶段参赛时，比赛成绩记为Y，同理可得
，
则，
，，，
，应由甲参加第一轮比赛.
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的均值，属于中档题.
由相互独立事件的概率乘法公式可得33]，即可求得甲、乙所在队的比赛成绩不少于5的概率.
甲、乙所在队的比赛成绩为15分要求第一阶段至少投中一球，第二阶段投中三球，分别列出甲乙在第一阶段参赛时的概率公式，二者求差，由与0的关系即可判断.
分别列出甲乙在第一阶段参赛时的得分期望，二者求差，由与0的关系即可判断.
16.【答案】解：当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，

【解析】本题考查了导数的应用求函数极值以及用导数证明恒成立，属于中档题；
求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
17.【答案】解：由题可得，①
当时，，②
由①-②得：，
所以，所以，
故等比数列的公比为，而由，
即，
所以，将代入，解得，
所以；
由得，，
所以，
所以

【解析】本题考查根据数列的递推公式求通项公式，数列的前n项和与的关系，属于中档题.
利用结合题意可求出的通项公式；
利用结合可求出
18.【答案】解：根据题意可得列联表：
可得，
因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

【解析】根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析；
用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断.
19.【答案】解：由题意得：
；
；
证明：由题意知，
记，
有 ，即或2，则：
现对a分类讨论：
①当时，有为增函数，
因为，
所以此时符合条件；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
因为取等号，
所以，
则此时也符合条件；
③当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
，
令，
当时，，
则，
则此时成立；
综上可知，对于任意，都有，且存在，使得
证明：①证明必要性：
对于任意正实数c，任取
则存在实数s满足使得，
因为是偶函数，
所以，而，
由此可得，
于是有，
同理可得，
所以
②证明充分性：
设函数在处取得最小值.
若，则，
此时；
若，则，
函数在处取得最小值，
即集合中的最小数是，
函数在处取得最小值，
集合中的最小数是0，
由正实数使成立可得；
若，则，
同理可得集合中的最小数是，
集合中的最小数是0，
由正实数使成立可得
综上所述：函数的最小值点必须满足，
由此可得，
则和都是该函数的最小值点，
任取，若，则，
函数在处取得最小值，
即集合中的最小数是，
函数在处取得最小值是，
即集合中的最小数是，
由可得，
于是；
若，则，
同理可得集合中的最小数是，
集合中的最小数是，
由可得，
于是；
若，则有，
所以函数对任意的都有，
故函数是偶函数.

【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题，函数的新定义问题，利用导数判断或证明已知函数的单调性，属于难题.
直接代入求解即可；
由题意知，，记，判断的单调性，求出极值，再对a分类讨论，进一步证明结论成立即可；
根据新定义，结合奇、偶函数的定义、最值的定义以及充分条件和必要条件的定义证明即可.
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
k
优级品
非优级品
甲车间
26
24
乙车间
70
30
x
0
2
正
0
负
0
正
极大值
极小值