贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题

这是一份贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年高二（下）部分学校6月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（ ）
A．﹣2B．C．1D．
3．一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分的数学期望等于（ ）
A．5分B．4.8分C．4.6分D．4.4分
4．为弘扬我国古代的“六艺文化”某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有20种选法
B．课程“乐”，“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”，“书”，“数”排在相邻的三周，共有120种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
5．曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．﹣
6．设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在数列中，，，则（ ）
A．2B．C．D．
8． 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）
A．8B．12C．16D．20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量，若函数为偶函数，则
C．数据第80百分位数是8
D．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为
10．设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）
11．已知数列的通项公式为，在中依次选取若干项（至少3项），，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．若取，则
B．满足题意的也必是一个等比数列
C．在的前100项中，的可能项数最多是6
D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，常数项为 .
13．记正项数列的前项和为，若，则的最小值为 .
14．已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．
（1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设．
（ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
（ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
16．已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an+1﹣3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{Sn}的通项公式．
18．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1）填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：，
19．记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
答案解析部分
12．20
13．（或）
14．
15．（1）解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲在第一阶段至少投中1次，乙在第二阶段也至少投中1次，
记甲在第一阶段至少投中1次的事件为A，乙在第二阶段也至少投中1次的事件为B，
则，，故比赛成绩不少于5分的概率.
（2）解：（i）若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，
因为，所以
，
所以，故甲参加第一阶段比赛；
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
则，
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为，则，，
则，
故应该由甲参加第一阶段比赛.
16．（1）解：当时，f(x)的定义域为，
所以，
故，
因为在上为增函数，根据单调性的性质，
所以在上为增函数，
又因为，故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2）解：因为，
所以，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
又，即，所以在上为增函数，
故.
当时，当时，，故在上为减函数，
故在上，即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去.
当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；
综上，.
​​​​​​
17．（1）解：由2Sn＝3an+1﹣3，
当，
两式相减得：，
所以，所以
等比数列 {an} 的公比为，而由2Sn＝3an+1﹣3，
即2S1＝3a2﹣3，所以，代入，则，
所以.
（2）解：由（1）可得：等比数列 {an} 的公比为，首项，
利用等比数列的前n项公式得：
.
18．（1）解：根据题意可得列联表如下所示：
将上面的数值代入公式计算得：，
又因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
所以用频率估计概率可得，
根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
19．（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0⇒x＝0或2．
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞）⊆[﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以4≥﹣4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞）⊆[﹣4，+∞）也符合条件；
当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞）⊆[﹣4，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，则a∈[﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m﹣f（﹣c）．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c）⇒f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c⩾0成立⇒f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，|a|），，
综上，任意c⩾0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间


乙车间


P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
B
D
A
A
A
C
A,B,C
A,C,D
A,B,
优级品
非优级品
总数
甲车间
26
24
50
乙车间
70
30
100
总计
96
54
1
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
g'（x）
正
0
负
0
正
g（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗