贵州省贵阳市南明区部分学校2023−2024学年高一下学期6月联考 数学试卷（含解析）

这是一份贵州省贵阳市南明区部分学校2023−2024学年高一下学期6月联考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则或与异面
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
6．下列说法不正确的是（ ）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，真命题为（ ）
A．复数为纯虚数的充要条件是
B．复数的共轭复数为
C．复数的虚部为
D．复数，则
10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．一定存在实数，使得成立
B．若，那么一定有
C．若，那么
D．若，那么，，一定相互平行
11．已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）

A．该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B．该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C．该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D．该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，，平面内一点P，满足，的最大值是 ．
13．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是 ．
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16．为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.
(1)在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
(2)求的值；
(3)估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
17．已知向量，．
(1)若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
(2)若向量，且，求向量，夹角的余弦值．
18．在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
(1)求角；
(2)若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
19．如图，在正三棱柱中，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用复数的模长公式即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选B.
2．【答案】B
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
和不共线，故A能构成基底，
和共线，故B不能构成基底，
和不共线，故C能构成基底，
根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，
故选B.
3．【答案】A
【分析】由已知可知与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题，即可求解.
【详解】设，共起点，
由，可得，
所以与垂直，如图
由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，
由题意可知的终点在图中所示的射线上，
所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为.
故选.
4．【答案】D
【分析】ABC可以举出其他情况反驳即可，D选项易知其正确.
【详解】对于A：若，，，则或与异面，故A错误；
对于B：若，，，则或相交，故B错误；
对于C：若，，则或，故C错误；
对于D：若，，则或与异面，故D正确.
故选D.
5．【答案】A
【详解】在中，由及正弦定理，得，
于是，而，则，
所以是等腰三角形.
故选：A
6．【答案】C
【分析】根据棱锥、棱柱、棱台的定义依次判断选项即可得到答案；
【详解】对于A：正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，故A正确；
对于B：根据棱台的定义可得：棱台的各侧棱延长线必交于一点，故B正确；
对于C：用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，故C错误；
对于D：棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故D正确；
故选C.
7．【答案】C
【分析】先求出，得到方程，求出，由诱导公式求出答案.
【详解】，
故，
所以，则.
故选C.
8．【答案】C
【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可．
【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面，
连接，交于点，
则，
因为，所以，
所以四边形为菱形，，
则，
故选C．
9．【答案】BCD
【分析】根据纯虚数的定义，知，可判断A；根据共轭复数，虚部的定义，可判断BC；运用复数的四则运算，可判断D.
【详解】复数为纯虚数的充要条件是，故A错误；
复数的共轭复数为，复数的虚部为，故BC正确；
复数，则,，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】BC
【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】只有当，不是共线向量时，才一定存在实数，使得成立，因此选项A不正确；
由，因此选项B正确；
由，
，
所以选项C正确；
当时，显然成立，但是，，不互相平行，所以选项D不正确.
故选BC.
11．【答案】AC
【分析】由百分位数，极差和平均数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A：该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：
698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为万，故A正确；
对于B：由图可知，常住人口不呈递增趋势，故B错误；
对于C：，所以第60百分位数为730.50万，故C正确；
对于D：平均数为万，故D错误．
故选AC.
12．【答案】
【分析】由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得,设，求出的取值范围，借助于余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值.
【详解】

如图，由和向量的数量积定义可得，
，即得，从而，
设，则，由，可得,
由余弦定理，当且仅当时，即时，等号成立，
因为，所以，所以，故的最大值为.
【思路导引】解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得的范围，进而得到的范围.
13．【答案】
【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到A的大小，然后利用正弦定理将用角的表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值.
【详解】因为，
所以，
所以，又，
所以，
即，
即，
即，
所以，又，
即，又，
所以，
由正弦定理，
所以，
所以
，
由得，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
14．【答案】0.79
【解析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.
【详解】甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，
∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
∴，解得，
∴a的最大值是0.79.
故答案为：0.79.
15．【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是
(2)（i）答案见详解；（ii）游戏不公平，理由见详解
【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由即可求解.
（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得
解得
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平.
16．【答案】(1)户
(2)，
(3)
【分析】（1）由频率分布直方图得到频率，利用频率得到答案；
（2）根据频率分布直方图中矩形面积与频率的关系，以及百分位数的计算公式，列出方程组，可得答案；
（3）根据频率分布直方图平均数的估计值计算公式可得答案.
【详解】（1）因为月均用水量在内的家庭占，
所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户.
（2）由频率分布直方图，可得，则，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9，
所以在，则，解得.
（3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为
.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示求出，再求出投影向量的坐标；
（2）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求出，再求出向量夹角的余弦.
【详解】（1）由，，得，，
由，得，即，则，
所以向量在向量上的投影向量为，其坐标为；
（2）依题意，，由，得，解得，
则，，，，
所以.
【方法总结】用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法：
(1)几何法：选取适当的基(基中的向量尽量是已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．
18．【答案】(1)
(2)存在，当且仅当时等号成立，
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，即可求出，从而得解；
（2）根据平面向量线性运算得到，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解；
（3）依题意可得平分，由面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于A的三角函数，由A的范围求出函数的值域，即可得解.
【详解】（1），，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，，则，，
又，，
（2）点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理，可得，
即，所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立；
（3），，
，即平分，
，
，
又，，
所以，解得，，
则，则，即，
即．
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可；
（2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化，结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可；
（3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可.
【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面．
因为平面，所以.
因为是等边三角形，D为的中点，所以.
因为，平面，且，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，易得，
则是异面直线与CD所成的角或补角.
设，则，，，，
故，
即异面直线与CD所成角的余弦值为.
（3）在中，作，垂足为E.
因为平面，且平面，
所以.
因为平面，且，
所以平面.
因为平面BCE，所以平面平面.
设，则，，故.
因为，
所以，
则，，
所以.
故在上存在点E，使得平面平面，此时.