黑龙江省鸡西市文成中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

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考试时间：150分钟试卷 分值：150分
一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 若中，角的对边分别为若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理直接求解.
【详解】在中，由及余弦定理，得.
故选：B
2. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的概念求得答案.
【详解】复数的虚部是.
故选：A
3. 已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解.
【详解】由题在上的投影向量为.
故选：C
4. 已知向量，若，则实数（ ）
A. 2B. C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直的条件直接求得.
【详解】因为向量，且，
所以，解得：.
故选：B
5. 已知向量，，则向量的夹角为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】 ，因为 ，所以夹角为
故选：A
6. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）
A 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
所以，所以，所以为等腰三角形.
故选：A.
7. 在△ABC中，D为BC上一点，E为线段AD的中点，若2＝，且＝＋，则x＋y＝（ ）
A. －B. －C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，而E为线段AD的中点，则，由三角形法则可知，，又因为2＝，所以，然后等量代换，可用表示出，从而可求出的值
【详解】解：由图可知，，
因为E为线段AD的中点，所以，
因为2＝，所以，
所以
因为＝＋，所以，
所以，
故选：B
【点睛】此题考查的是平面向量基本定理和平面向量的加法法则，属于基础题
8. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决眦入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ）
A. kmB. kmC. kmD. km
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AC和∠ACB的正余弦，利用余弦和差公式求出∠ACD的余弦值，进一步根据余弦定理求出AD，从而得到答案.
【详解】连接AC，
设，
在△ACB中，AB=4，BC=5, ，所以AC=
所以,
所以cs=
所以
多以.
故选：A.
【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际问题的知识点，考查计算能力，属于比较常见的题型.
二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是边的中点
B. 若，则是的垂心
C. 若，则是的重心
D. 若，则动点过的内心
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D.
【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得，
若，可得是边的中点，故A正确；
对于B，若，则是的外心，故B错误；
对于C，若，则，即，
所以是的重心，故C正确；
对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
所以与的角平分线同向，又，
则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确.
故选：ACD
10. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. z的模等于13B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C. z的共轭复数为D. 若是纯虚数，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确；
对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误；
对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确.
故选：BD
11. 在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A. B. 是钝角三角形
C. 的最大内角是最小内角的2倍D. 若，则外接圆的半径为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.
【详解】根据正弦定理由，因此选项A正确；
设，所以为最大角，
，所以为锐角，因此是锐角三角形，因此选项B不正确；
，显然为锐角，
，
因此有，因此选项C正确；
由，
外接圆的半径为：，因此选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.
第II卷（非选择题）
三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量的夹角为，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积公式求出答案.
【详解】因为，所以，
．
故答案为：
13. 已知向量，，．若，则__．
【答案】5
【解析】
【分析】根据给定条件，求出向量的坐标，再借助向量共线的坐标表示计算作答.
【详解】向量，，，则，
因，则有，解得，
所以.
故答案为：5
14. ________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用的性质计算可得答案.
【详解】∵，∴，
则，故原式．
故答案为：.
四､解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知两个非零向量与不共线.
（1）若，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和共线
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论；
（2）利用共线定理构造方程组即可解得.
【小问1详解】
由可得；
显然，即共线，
又因为它们有公共点，
所以可得三点共线；
【小问2详解】
若和共线，且向量与不共线，
则存在实数满足，因此，
解得；
即存在，使和共线.
16. 已知复数，．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m的值；
（2）由题意得到方程，求出m的值；
（3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m的取值范围.
【小问1详解】
若z是纯虚数，则，
∴，则m的值为1；
【小问2详解】
若z在复平面内对应的点在直线上，
则，解得
【小问3详解】
若z在复平面内对应的点在第四象限，则，
∴，则m的取值范围为．
17. 在锐角三角形中，，，分别为角，，所对的边，若向量，，且.
（1）求；
（2）若，且，求，的值.
【答案】（1）；（2），或，.
【解析】
【详解】分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量垂直，列出关系式求解即可；
（2）利用余弦定理即可.
详解：（1）∵，∴，由正弦定理得，
∵，∴，∴锐角.
（2）当时，由余弦定理，得.
解得：，即，或，.
18. 设复数．
（1）若实数，求；
（2）若是纯虚数，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.
【小问1详解】
由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
【小问2详解】
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
19. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，的面积为，.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理角化边得，进而可求；
（2）由面积公式可得，由正弦定理角化边得，代入，从而可求，进而可求，从而可求.
【小问1详解】
根据余弦定理可得，，则，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，
又的面积为，所以，即，
因为，结合正弦定理可得，
又，所以，解得，
所以，
所以，即，
所以的周长为.