浙江省文成中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省文成中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共16页。
2.在复平面内，复数z=5+3i1+i(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.设D为△ABC所在平面内一点,BC→=3CD→,则( )
A. AD→=−13AB→+43AC→B. AD→=13AB→−43AC→
C. AD→=43AB→+13AC→D. AD→=43AB→−13AC→
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2−b2= 3bc，sinC= 3sinB，则A=( ).
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘
5.已知向量a=(m−3,n)，b=(2,−1)(其中m>0，n>0)，若a与b共线，则4m+12n的最小值为( )
A. 94B. 3C. 4615D. 9
6.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC，AC=60m，BC=70 3m，tan∠MCA=34，cs∠NCB=1415，∠MCN=150∘，则塔尖MN之间的距离为( )
A. 75 10m
B. 75 7m
C. 150m
D. 75 2m
7.在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且BA|BA|⋅BCBC= 22，则△ABC为( ).
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形
8.梯形ABCD中AB平行于CD，AB=2,CD=1,∠DAB=π4，P为腰AD所在直线上任意一点，则|3PB+2PC|的最小值是( )
A. 4 3B. 4 2C. 4D. 3 6
9.已知向量a，b不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有( )
A. a+b,2a+bB. 2a−b,−2a+b
C. 3a,a+2bD. a−b,3a−2b
10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|=2，则下列结论正确的是( )
A. OA⋅OD=−2 2B. OB+OH=−2OE
C. |AH−FH|=2 2+ 2D. |AF|=2 2− 2
11.点O为△ABC所在平面内一点，且AO+2OB+3OC=0，则下列选项正确的是( )
A. AO=12AB+34AC
B. 直线 AO必过 BC边的中点
C. S△AOB:S△AOC=3:2
D. 若|OB|=|OC|=1，且OB⊥OC，则|OA|= 13
12.已知i为虚数单位，则复数(2−i)2的模为= 。
13.设a=(x,3)，b=(2,−1)，且a,b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是
14.如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上的一点，若AP→=311AB→+mAC→，则实数m的值为 .
15.已知向量a=−3,2，b=1,m，且b−a与c=2,1共线．
(Ⅰ)求m的值；
(Ⅱ)若a−λb与2a−b垂直，求实数λ的值．
16.在四边形ABCD中，AB//CD，AB=4，AD=2，BD=2 7，cs C=− 22.
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)求BC的长．
17.已知平面直角坐标系内三点A，B，C在一条直线上，满足OA=(−3,m+1)，OB=(n,3)，OC=(7,4)，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．
(1)求实数m，n的值；
(2)设△AOC的重心为G，且OG=23OB，求cs∠AOC的值．
18.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别a,b,c，且a=3,b= 7.若p=(a,−b)，q=(sin 2B,sin A)，且p⊥q.
(1)求角B和边c.
(2)若点D满足AD→=13AB→+23AC→，求△ACD的面积．
思维拓展
19.已知向量a=(cs 3x2,sin 3x2)，b=(cs x2,−sin x2)，函数fx=a→⋅b→−ma→+b→+1，x∈−π3,π4，m∈R.
(1)当m=0时，求fπ6的值；
(2)若fx的最小值为−1，求实数m的值；
(3)是否存在实数m，使函数gx=fx+2449m2，x∈−π3,π4有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
直接利用向量的运算法则求解即可.
【解答】
解：平面向量a=(1,−3)，b=(3,12)，
则向量a+2b=(1,−3)+2×(3,12)=(7,−2)，
故选A.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
首先化简复数，再根据复数的几何意义，求对应的点所在象限.
【解答】
解：z=5+3i1+i=5+3i1−i1+i1−i=8−2i2=4−i，
对应的点为4,−1，在第四象限.
故选D.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的加减与数乘混合运算，属于基础题.
将向量AD利用向量的三角形法则首先表示为AB+BD，然后结合已知表示为AB,AC的形式．
【解答】
解：如图，
由AD=AB+BD=AB+43BC
=AB+43(AC−AB)=−13AB+43AC.
故选：A.
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题.
已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出csA，将表示出的a与c代入求出csA的值，即可确定出A的度数．
【解答】
解：已知等式sinC= 3sinB，由正弦定理化简得：c= 3b，
代入a2−b2= 3bc得：a2−b2=3b2，即a=2b，
∴csA=b2+c2−a22bc=b2+3b2−4b22 3b2=0，
∵A是△ABC的内角，则A=90∘，
故选：C.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的共线的坐标表示和利用基本不等式求最值，属于基础题．
根据平面向量共线的坐标表示求出m+2n=3，再利用基本不等式求出4m+12n的最小值．
【解答】
解：因为向量a=(m−3,n)，b=(2,−1)，且a与b共线，
所以−(m−3)−2n=0，m+2n=3；
又因为m>0，n>0，
所以4m+12n=13(4m+12n)(m+2n)=13(4+1+8nm+m2n)
≥13(5+2 8nm⋅m2n)=13×(5+4)=3，
当且仅当8nm=m2n，即m=4n=2时取等号，
所以4m+12n的最小值为3.
故选：B.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
通过所给条件依次求出MC，NC，再由余弦定理可求得MN.
【解答】
解：由题得，在△ACM中，MA=ACtan∠MCA=60×34=45，则MC= MA2+AC2=75，
在△CBN中，NC=CBcs∠NCB=70 31415=75 3，
则在△MCN中，由余弦定理可得MN²=MC²+NC²−2MC⋅NCcs∠MCN=75²+(75 3)²−2×75×75 3×(− 32)=39375，
则MN=75 7.
故选：B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题.
利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量积求出三角形边的夹角，得到等腰直角三角形.
【解答】
解：因为(ABAB+ACAC)⋅BC=0，所以∠BAC的平分线与BC垂直，
所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC.
又因为BABA⋅BCBC= 22，所以∠ABC=45∘，所以三角形ABC是等腰直角三角形．
故选：D.
8.【答案】B
【解析】【分析】
考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法、数乘和数量积运算．
以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设AD=t，AP=m，可求点P，D，C，B的坐标，求出向量PB，PC的坐标，根据模的公式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【解答】
解：如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为y轴建立直角坐标系，
设AD=t，AP=m，∠DAB=π4，
所以P( 22m, 22m)，D( 22t, 22t)，C( 22t+1, 22t)，B(2,0)，
则PB=(2− 22m,− 22m)，PC=( 22t− 22m+1, 22t− 22m)，
则3PB+2PC=(8+ 2t−5 22m, 2t−5 22m)，
令k= 2t−5 22m，
则3PB+2PC=(8+k,k)，
则|3PB+2PC|= (8+k)2+k2= 2k2+16k+64= 2(k+4)2+32，
当k=−4时，|3PB+2PC|取得最小值4 2.
故选：B.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查向量的基底，及平面向量共线的充要条件，属于基础题．
由两不共线向量可作为平面向量的基底，进行判定即可.
【解答】
解：已知向量a，b不共线，
A：(a+b)=λ(2a+b)(λ≠0)无解，故A的两个向量不共线，所以能作为平面向量的一组基底；
CD：同理于A的分析，C、D两组向量可以为平面向量的一组基底；
B：因为2a−b=−−2a+b，
所以2a−b//−2a+b，
所以2a−b,−2a+b不能作平面向量的基底.
故选ACD.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查数学文化和向量的应用，考查了向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，直接利用向量的数量积的应用，向量的模和向量的夹角的应用求出结果．
【解答】
解：因八卦图为正八边形，故中心角为45∘，∠AOD=135 ∘=3π4，
OA→⋅OD→=|OA→|⋅|OD→|cs3π4=−2 2，A项正确；
OB与OH的夹角为90∘，又因为|OB|=|OH|，
所以OB+OH= 2⋅OA=− 2⋅OE，B项错误；
|AH−FH|=|AH+HF|=|AF|，∠AOF=3π4，
△OAF中，由余弦定理可得
|AF|2=|OA|2+|OF|2−2|OA|⋅|OF|cs 3π4=8+4 2，
则|AF|=2 2+ 2，故C项正确、D项错误．
故A、C项正确．
故选AC.
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查的是向量的运算及向量的模的求法，属于中档题.
结合向量的加法运算及向量的数量积的运算性质分别判断即可.
【解答】
解：如图所示，
点 O为△ABC所在平面内一点，且AO+2OB+3OC=0，
可得AO+2OB−2OA+3OC−3OA+5OA=0，
即4AO=2(OB−OA)+3(OC−OA)，即4AO=2AB+3AC，
所以AO=12AB+34AC，所以A是正确的；
在△ABC中，设D为BC的中点，
由AO+2OB+3OC=0，
可得(AO+OC)+2(OB+OC)=0，
所以AC=−2(OB+OC)=−4OD，
所以直线AO不过BC边的中点，所以B不正确；
由AC=−4OD，
可得|AC|=4|OD|且AC//OD，所以DEEC=ODAC=14，
所以DE=14EC，可得EC=25BC，所以BEEC=32
所以S△AOBS△AOC=12AE×BEsin ∠AEB+12OE×BEsin∠OEB12AE×ECsin ∠AEC+12OE×ECsin∠OEC=
12AE+EO×BE⋅sin∠AEB12AE+EO×EC⋅sin∠AEC=12AO⋅BE⋅sin∠AEC12AO⋅EC⋅sin∠AEC=BEEC=32，
所以C正确；
由AO+2OB+3OC=0，可得OA=2OB+3OC，
因为|OB|=|OC|=1，且OB⊥OC，可得|OA|2=|2OB+3OC|2=4OB2+12OB⋅OC+9OC2=13，
所以|OA|= 13，故D正确.
故选：ACD.
12.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，复数的模的计算，是基础题．
化简(2−i)2，直接代入复数模的公式进行计算即可．
【解答】
解：2−i2=4−4i+i2=3−4i，
所以(2−i)2=3−4i= 32+−42=5.
故答案为5.
13.【答案】{x|x