安徽省阜南实验中学（阜南县教师进修学校）2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

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（时间：120分钟，满分：150分）
一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若向量，，且，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为向量，，且，则，解得.
故选：A.
2. sin53°cs23°－cs53°sin23°等于（ ）
A. B. －C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用两角差的正弦公式可得答案.
【详解】sin53°cs23°－cs53°sin23°=.
故选：A.
3. 已知向量，，若与垂直，则（ ）
A. 13B. C. 11D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，由数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又与垂直，所以，解得.
故选：C
4. 已知，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件求出，再根据即可求得.
【详解】由题意可得，
又，则，
故与的夹角是.
故选：B
5. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象平移的规则推导即可.
【详解】由题意，所以将的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到的图象.
故选：A.
6. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形结合向量的线性运算求解.
【详解】因为为的中点，为的中点，
所以.
故选：D
7. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A. 6B. 10C. 15D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算结合数量积的定义求解即可.
【详解】由，且与的夹角为，
，
，故C正确.
故选：C
8. 已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的单位向量．
【详解】，，，，则向量在向量上的投影向量为，
故选：B
【点睛】本题考查向量的投影，共线向量，掌握向量投影的定义是解题关键．
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件可得，利用同角三角函数的基本关系及诱导公式逐项判断可确定正确选项.
【详解】因为，所以.
，选项A正确.
，选项B正确.
，选项C错误.
，选项D正确.
故选：ABD.
10. 已知点、、，其中，则（ ）
A. 若、、三点共线，则B. 若，则
C. 若，则D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用平面向量的模长公式可判断C选项；利用平面向量夹角余弦的坐标公式可判断D选项.
【详解】因为、、，其中，则，，
对于A选项，若、、三点共线，则，则，解得，A对；
对于B选项，若，则，解得，B对；
对于C选项，若，即，可得，
解得或，C错；
对于D选项，当时，，则，
因为，故，D对.
故选：ABD.
11. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 面积的最大值为
C. 若为边的中点，则的最大值为3
D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题．
【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；
对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长，
由于是锐角三角形，因此即解出，
则则，则，故D正确.
故选：ACD
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中横线上）
12. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：
13. 已知向量满足，则的夹角为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，根据夹角的余弦值公式结合的夹角范围即可求解.
【详解】因为，则，
又，，
可得，
，.
故答案为：.
14. 在中，，则的面积是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式列式计算.
【详解】在中，，由余弦定理得，
则，所以的面积为.
故答案为：
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 化简下列各式
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】利用诱导公式即可化简.
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 已知向量，.
（1）求；
（2）已知，且，求向量与向量的夹角.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模；
（2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角.
【小问1详解】
由题知，，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题知，，，
设向量与向量的夹角为，
所以，即，
解得，因为，所以
所以向量与向量的夹角为.
17 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数单调性列不等式求单调增区间；
（2）整体换元法求值域.
【小问1详解】
令，
解得，
则的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，所以.
当，即时，
取得最小值；
当，即时，
取得最大值.
故在上的值域为.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.
(1)求；
(2)求的周长 .
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；
（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．
【详解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.
（2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为
【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.
19. 已知向量 ，函数 ，且图象上一个最高点为与最近的一个最低点的坐标为 .
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)设为常数，判断方程在区间上解的个数；
（Ⅲ）在锐角中，若，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）见解析（3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据向量数量积得，再根据配角公式得.（2）根据自变量范围画出函数图像，根据正弦函数图像确定交点个数（3）先根据条件求出锐角B，再根据锐角三角形确定角A范围为，最后根据正弦函数性质确定 的取值范围.
试题解析：(Ⅰ) .
图象上一个最高点为，与最近的一个最低点的坐标为,
，，于是. 所以.
(Ⅱ)当 时，，由图象可知：
当时，在区间上有二解；
当或时，在区间上有一解；
当或时，在区间上无解.
（Ⅲ）在锐角中，，.
又，故，. 在锐角中,
. ,,
即的取值范围是
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．