天津市和平区2023-2024学年高一下学期期末质量调查 数学试卷（含解析）

这是一份天津市和平区2023-2024学年高一下学期期末质量调查 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知为虚数单位，复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
2．已知一组样本数据10，10，9，12，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．若采用斜二测画法画水平放置的的直观图，的面积为，则的面积为（ ）
A．2B．C．4D．
4．已知a，b，c是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，以下说法中正确的个数为（ ）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．B．4C．5D．
6．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ）
A．B与A不互斥且相互独立B．B与C互斥且不相互独立
C．C与A互斥且不相互独立D．D与A不互斥且相互独立
7．用平面截一个球，所得到的截面面积为，若球心到这个截面的距离为，则该球的表面积为（ ）
A．4B．8C．16D．28
8．某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（ ）
①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25；
②估计居民月均用水量的中位数约为2.1
③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万；
④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知圆台的上、下底面半径分别为，，侧面积等于，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（ ）
A．16B．C．D．8
二、填空题
10．设向量，，若与的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 ．
11．三名运动员练习射击，甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8，0.4，0.5，若三人各射击一次，则甲、乙、丙三人都中靶的概率为 ；至少有两人中靶的概率为 ．
12．已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数 ．
13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ．
14．如图，正三棱柱的所有棱长均相等，点M，P，N分别是棱，，的中点，则二面角的正弦值为 ，异面直线与所成的角的余弦值为 ．
15．已知平面四边形中，，是的中点，，与相交于点，若，，则的长为 ．
三、解答题
16．已知，，且向量与的夹角为.
(1)求与的值；
(2)若向量与互相垂直，求实数k的值.
17．在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值．
18．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，是实数，复数z的共轭复数为.
(1)求；
(2)若复数在复平面内表示的点在第三象限，求实数m的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点E、F分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线和平面所成的角的正切值.
20．在中，角所对的边分别为，已知为边上的中线，点分别为边与上的动点，若直线与交于点，且，，且满足．
(1)求边的长度；
(2)若的面积是面积的4倍，求的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解.
【详解】，
所以复数的虚部为.
故选：B.
2．D
【分析】利用百分位的定义求解即可.
【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：，
上四分位数即为分位数，，
所以四分位数为从小到大的第个数，即.
故选：D.
3．C
【分析】利用直观图和原图形的面积关系建立方程求解即可.
【详解】设的面积为，由已知得，解得，故C正确.
故选：C
4．A
【分析】由线线、线面、面面间的位置关系逐一分析即可.
【详解】①可能平行、相交或异面，故①错误；

②可能平行或垂直，故②错误；
③由面面垂直的性质定理知，③缺少条件：，故③错误；
故选：.
5．A
【分析】利用向量平行的坐标表示求出，，再利用模长公式求解即可．
【详解】因为，，，
所以，则，故，
所以，则．
故选：A.
6．B
【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可.
【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件，
依题意，，，
又，即A与B相互独立，故A正确；
第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件,，即B与不相互独立，故B错误;
，即与不相互独立，C与A互斥故C正确；
，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确；
故选：B.
7．C
【分析】根据球的截面性质，即可由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解.
【详解】由于截面面积为，故截面圆的半径为，又球心到这个截面的距离为，故球半径为，
故球的表面积为,
故选：C
8．C
【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④.
【详解】由频率分布直方图可知，
居民月均用水量低于的概率，故①正确，
三组的频率之和为，
而前四组频率之和为，
故中位数位于，由，②正确
估计万居民中月均用水量不低于3的人数为，③正确
根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则用水量在中应抽取人，④错误，
故选：C
9．D
【分析】根据题意，可得该圆台轴截面的内切圆即为其轴截面所在正三角形的内切圆，从而求得圆台的内切球半径为，再结合正方体的外接球半径与棱长的关系即可求得.
【详解】设圆台的高为，母线长为，正方体的棱长为.
由题意可得，解得，则，
易得圆台的母线与下底面所成角为，所以可以将该圆台的轴截面补形为边长为的正三角形.
设该正三角形的内切圆半径为，则根据等面积法可得，解得,
又，该内切圆也为此圆台轴截面的内切圆，
圆台的内切球半径为.
该正方体可以在圆台内部任意转动，，解得，
所以当正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，理解正方体在圆台内部可以任意转动，即正方体在圆台的内切球内，从而得解.
10．
【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围.
【详解】因为与夹角为钝角，
可以得出,
且不平行，则
即且.
即得.
故答案为：
11． 0.16/ 0.6/
【分析】第一空，直接利用独立事件的概率公式求解即可，第二空，根据独立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【详解】甲、乙、丙三人的中靶概率分别为0.8，0.4，0.5，
则甲、乙、丙三人都中靶的概率为，
至少有两人中靶的概率为，
故答案为：
12．
【分析】由题意可得，进而可得，求解即可.
【详解】向量在上的投影向量为，
则，于是，
所以，所以，解得.
故答案为：.
13．
【分析】由余弦定理及三角形面积公式得出角C，再由正弦定理求外接圆直径即可.
【详解】由,
所以,即,
由,所以,
所以,所以.
故答案为：.
14． / /
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，根据平面法向量夹角求二面角，根据直线方向向量的夹角求线线角.
【详解】
取的中点，连接，则在正三棱柱中，平面，
四边形为矩形，以为坐标原点，
以的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示坐标系，
平面的一个法向量为，不妨设正三棱柱的棱长为，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，，
，，
所以二面角的正弦值为；
，
，
异面直线与所成的角的余弦值为.
故答案为：，.
15．
【分析】将用向量和表示，结合即可求的长度.
【详解】设,
则
,
设,
则
,
所以，解得，
所以,
由得，
，
化解得,
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查用基底表示平面向量，解题关键是将用向量和表示.
16．(1)，
(2)或
【分析】（1）运用向量数量积的定义和线性运算求解即可.
（2）利用向量垂直的定义建立方程，求解参数即可.
【详解】（1）由已知得，
所以．
（2）已知与互相垂直，向量，
即，，所以或．
17．(1)或
(2)或
【分析】（1）根据正弦定理化简即可；
（2）结合（1），利用余弦定理即可解得.
【详解】（1）因为，所以，
又由正弦定理，所以有，
因为，，所以，
因为，所以有或．
（2）当时，由余弦定理得，解得.
当时，由余弦定理得，解得．
所以的值为或．
18．(1)5
(2)
【分析】（1）运用复数的乘法法则，由复数概念可得，，即，再由共轭复数的概念得，最后应用模长公式即可.
（2）把代入化简，根据复数的几何意义列出关于的不等式，解不等式即可.
【详解】（1）已知复数为纯虚数，则，
又是实数，
可得，，所以，
所以，．
（2）由（1）有代入复数，
所以且，解得．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线可得，即可由线面平行的判定求证，
（2）根据线线垂直可得平面，进而得为直线和平面所成的角．利用三角形的边角关系即可求解.
【详解】（1）证明：因为点、分别是、的中点，
所以在中，为三角形中位线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）过点作，交于点，连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
所以为斜线在平面上的射影，
因此为直线和平面所成的角．
因为菱形中，，，所以为等边三角形，
又因为，所以点为边上中点，所以，，
所以中，，
所以直线和平面所成的角的正切值为．
20．(1)4
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求得结论；（2）设，，，表达出，进而求出，从而得到，结合，求出最小值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，故．
（2）设，，，
由于共线，故存在，使得.
因为，所以，
即，即①，
因为；
所以有，
即，整理有解得②，
由①②得，
因为，，
所以
，
又，且等号不同时取得，即，此时为单调递减函数，
因此当时，．