辽宁省名校联盟2024−2025学年高一下学期4月联考 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省名校联盟2024−2025学年高一下学期4月联考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形面积为（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数既是奇函数又在区间内单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．已知，，且，则（ ）
A．－3B．3C．D．
5．的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在中，，，，则（ ）
A．B．C．5D．15
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法错误的是（ ）
A．是第四象限角B．C．D．
8．已知为的外接圆圆心，若，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．对任意向量，，，下列关系式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减
C．函数图象的一条对称轴是直线D．函数在上有4个零点
11．函数的部分图象如图所示，为图象与轴的一个交点，，分别为图象的最高点与最低点，若，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．的面积为
C．D．是的图象的一个对称中心
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知，．若，，则的值是 ．
14．已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 ．
四、解答题
15．平行四边形中，，，，求：
（1）的值；
（2）．
16．已知，对任意都有．
（1）求的值；
（2）若当时，方程有唯一实根，求实数的取值范围．
17．已知向量，，且与的夹角为．
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18．某游乐场内有一直径为的摩天轮，已知轴心到地面的高度为．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要．
（1）一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求转动一周过程中，关于的函数解析式；
（2）当时，求此游客距离地面的高度；
（3）在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于的时间有多长？
19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题，
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设扇形的半径为，则，解得，
所以扇形的面积为．
故选C.
2．【答案】D
【详解】对于A项，由可得，，
所以，函数的定义域为关于原点对称.
又，
所以，函数为偶函数.故A错误；
对于B项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，
所以，函数为奇函数.
又，所以.
正弦函数在上既有增区间又有减区间，不满足题目要求，故B错误；
对于C项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，
所以，函数为偶函数.故C错误；
对于D项，易知函数的定义域为R关于原点对称.
又，
所以，函数为奇函数.
又，所以.
正弦函数在上单调递增，故D正确.
故选D.
3．【答案】A
【详解】只要把的图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象，
故选A.
4．【答案】B
【详解】由已知，可得，即，
整理可得.
所以.
故选B.
5．【答案】A
【详解】要使函数有意义，
则应有.
由正切函数的图象与性质解可得，，
所以，函数的定义域为.
故选A.
6．【答案】C
【详解】由得，，
所以，即，
所以，
又，所以，
所以，
故选C．
7．【答案】B
【详解】因为，
又因为，易得
解得，所以点的坐标为，
所以是第四象限角，且，所以
故选B
8．【答案】A
【详解】
因为，故为的中点，而为外心，
故为直角三角形，且，
取的中点为，连接，则，
因为，故，故，
而为锐角，故，故，所以，
而向量在向量上的投影向量为，
故选A．
9．【答案】CD
【详解】对于A，，，
所以不一定成立，故A错误；
对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误；
对于C，，其中为的夹角，
因为，可得，
所以恒成立，故C正确；
对于D，根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故D正确；
故选CD．
10．【答案】BCD
【详解】对于A选项，易知函数的定义域为，
因为
，作出函数的图象如下图所示：
所以，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B选项，当时，，则，
此时，，
因为函数在上为增函数，故函数在上单调递减，故B正确；
对于C选项，因为
，
所以，函数的一条对称轴为直线，故C正确；
对于D选项，由，解得，
当时，，可得，
解得，所以，函数在上有4个零点，故D正确；
故选BCD．
11．【答案】AB
【详解】对于A项，由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以.故A正确；
对于B项，不妨设，，，且，
易知.
则，，
所以，
.
又，所以有，
整理可得.
因为，所以，.
根据正弦函数的性质可知，
所以，有，，，
的面积为.故B正确；
对于C项，由B可知，，
所以，.故C错误；
对于D项，由前分析可知，，
又函数图象过点，
所以有，
所以有，
解得，即.
又，
所以，.
由可得，.
令可得，，
所以，不是的图象的一个对称中心.故D错误.
故选AB.
12．【答案】/
【详解】由已知可知.
则.
代入可得，
.
13．【答案】
【详解】因为，所以，.
又，所以.
所以，，
.
因为，，
所以，，
所以，.
因为，，所以.
又，
，
所以.
14．【答案】/ /
【详解】易知，
所以有.
所以，，
当且仅当同向时，等号成立，
此时取最大值3，取最大值为；
所以，，
当且仅当反向时，等号成立，
此时取最小值1，取最小值为.
15．【答案】（1）12
（2）
【详解】（1）

易知，
.
（2）由已知可得，
所以，.
在中，有，，，
由余弦定理及其推论可得.
16．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1）由已知可得，是函数的一个对称轴.
根据正弦函数的对称性可知，.
又，
所以，.
（2）当时，，
方程有唯一实根，可转化为与的图象有唯一交点.
令，
作出函数的图象如下图
有图象可知，当或，
即或时，函数与的图象有唯一交点，
即方程有唯一实根.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）向量，可得，且，
因为与的角为，可得，
解得，所以，
则，
所以．
（2）由向量，
可得，
由，解得，
当向量与共线时，可得，解得，
所以实数的取值范围为．
18．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）设，
由题意知：，，
故，
，，可取，
，
故解析式为，．
（2），
所以当时，求此游客距离地面的高度为．
（3）由题得，，即，
解得，
所以此游客距离地面高度不少于的时间有．
19．【答案】(1)2
(2)7
(3)9
【详解】（1）由已知，得，
所以，即，
又，所以，
所以；
（2）设，则，
所以，
，
所以，
又，
所以；
（3）由（2）得，
故，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是9．
【关键点拨】关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到.