辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月份联合考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省名校联盟2024-2025学年高一下学期3月份联合考试数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，而，
所以.
故选：A.
2. 已知，那么使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，即命题，
对于A，是成立的充要条件，A不是；
对于B，是成立的必要不充分条件，B不是；
对于C，是成立的充分不必要条件，C是；
对于D，是成立的不充分不必要条件，D不是.
故选：C.
3. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，所以.
故选：B.
4. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】向量，则，
由，得，所以.
故选：A.
5. 声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的（ ）
A 20倍B. 倍C. 10倍D. 100倍
【答案】D
【解析】由，得，当时，，
当时，，
，所以“声强级数7”的声强是“声强级数5”的声强的100倍.
故选：D.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数中，，即，解得，
函数定义域为，，
函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足；
当时，，选项D不满足，B符合题意.
故选：B.
7. 已知函数，且满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】依题意，，函数的定义域为，
，
函数是奇函数，函数在上都单调递增，
则函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
于函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，
不等式，
则，即，解得或，
所以实数的取值范围为或.
故选：C.
8. 设函数且关于方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，当时，，当时，为方程，
即的两个根，则，
又当时，，当且仅当时取等号，
作出函数的图象，观察图象知，当且仅当时，方程恰有3个不同的实根，
由，得，
，
而当或时，，
因此，所以的取值范围是.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 现有一组数据，则这组数据的众数为7
B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
C. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为18
D. 若事件相互独立，，则
【答案】BC
【解析】对于A，数据由小到大排列：，众数为9，A错误；
对于B，连续射击三次，事件“至少两次中靶”包括两次中靶和三次中靶；
事件“至多有一次中靶”包括没有中靶和中靶一次，它们不可能同时发生，但必有一个发生，
因此事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件，B正确；
对于C，数据的方差为2，数据的方差为，C正确；
对于D，事件相互独立，，D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 的值域为
C. 是上的增函数
D. 函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，，则，函数的值域为，B错误；
对于C，函数在上递增，在上递减，因此是上的增函数，C正确；
对于D，，函数的图象关于点对称，D正确.
故选：ACD.
11. 已知正实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为正实数满足，
所以，
所以，解得，当且仅当，
即时，取到最小值4，故A正确；
对于B，由得，
所以，
当且仅当，即时，取到最小值，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，所以，
当且仅当即时，取到最小值，故C正确；
对于D，，
由A选项可知，
由函数在上单调递减可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】不等式化为：，即，则，
解得，
所以原不等式的解集为.
13. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】设，由得，
故
，
由得，
故，
由于三点共线，故，则，
又，故，所以.
14. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】因对任意的，且，都有，
则在上单调递减，
又为奇函数及，所以，
则为偶函数，且，故在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，则，
当时，，得，解得或，
故；
当时，，即，
得或，解得或，
综上，不等式的解集为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知幂函数为偶函数.
（1）求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）因为是幂函数，
故，解得或；
当时，，定义域为，满足，函数为偶函数，
当时，，定义域为，函数非奇非偶函数，不符题意；
故，，其单调增区间为，单调减区间为.
（2）由（1）知为偶函数，单调增区间为，单调减区间为.
由于，故，
即且，解得或，
即的取值范围为.
16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数；
（2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率；
（3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率.
解：（1）由频率分布直方图，
得，解得；
数据落在区间的频率为，
数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数，
由，解得，
所以，估计该地区月均用水量的分位数为.
（2）设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，，
事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，，
因此，
所以所求概率为.
（3）试验的样本空间(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个样本点，
事件表示所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数，
则(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共4个样本点，
所以.
17. 已知函数.
（1）求关于的一元二次不等式的解集；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）不等式，，
当时，，原不等式无解；
当或时，，原不等式解为；
当或时，，由，解得，
不等式的解为，
所以当时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为.
（2）当时，，
而，当且仅当，即时取等号，
由，使得成立，得，
所以实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）证明：曲线是中心对称图形；
（2）若，当且仅当时成立.
（i）求实数的值；
（ii）若是的零点，满足，求的值.
解：（1）由题意，，
得，
所以曲线关于点对称.
（2）（i）由，解得，即函数的定义域为.
对于，函数在上单调递减，
所以在上单调递增，故函数在上单调递增.
又，当且仅当时成立，需且，
即，解得.
（ii）由（i）得，
因为是的零点，所以，得；
由，得，
令，则，得，即.
即都是方程的解，即都是函数的零点，
又在上单调递增，且，
所以在上有且仅有一个零点，故，
即，所以.
19. 已知函数满足为图象上不同的两点.
（1）求函数；
（2）若函数的图象经过两点，线段的中点落在直线上，求实数的值；
（3）若，求的取值范围.
解：（1）由，得，即，显然，
所以.
（2）依题意，是方程，
即的两个根，
令，
即是关于的方程的两个正根，
因此，解得，
由线段的中点落在直线上，得，
解得，
所以实数的值为3.
（3）由（1）知，，
由，得，整理得，
即，化简得，而
于是，令，则，解得，
则，即，因此，
由，得，则，，
所以的取值范围是.