上海市松江区第四中学2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试卷（含解析）

这是一份上海市松江区第四中学2023−2024学年高一下学期期末测试 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共12小题）
1．已知向量，若，则实数 ．
2．半径为6，圆心角等于的扇形的面积是 ．
3．已知复数满足，则复数 ．
4．已知，且，则 ．
5．若，则 ．
6．在中，内角A、B、C所对边边长分别为a、b、c，若，则 ．
7．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
8．若函数的部分图象如图所示，则函数的解析式 ．
9．若是方程的解，其中，则 ．
10．设函数对任意的实数均满足，则 ．
11．如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ．
12．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是
二、单选题（本大题共4小题）
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（ ）
A．B．C．D．
16．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．的虚部为
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．
D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知．
(1)设向量的夹角为，求的值；
(2)若向量与互相垂直，求的值．
18．已知为虚数单位，复数．
(1)当实数取何值时，是纯虚数；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值．
19．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
20．在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中．
(1)若米，求烧烤区的面积？
(2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？
(3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？
21．已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
(1)设函数，试求的互生向量；
(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；
(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】2
【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：2.
2．【答案】
【分析】由扇形面积公式即可直接计算求解.
【详解】由题得扇形的面积是.
故答案为：.
3．【答案】1
【分析】利用复数的除法运算和复数虚部的概念即可.
【详解】由，
则其虚部为1.
故答案为：1.
4．【答案】
【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解.
【详解】由题，
所以.
故答案为：.
5．【答案】/
【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解.
【详解】由题.
故答案为：/.
6．【答案】
【分析】根据余弦定理求出，结合为三角形的内角即可得到的大小．
【详解】在中，，即，即.
，
，
故答案为：.
7．【答案】
【分析】由公式求出投影的数量，再乘以同方向的单位向量得到投影向量.
【详解】在方向上的投影的数量为，
所以在方向上的投影向量为，
故答案为：.
8．【答案】
【分析】根据给定的图象，结合五点法作图方法求出解析式.
【详解】由图象知，，函数的周期，因此，
又，则，而，于是，
所以函数的解析式.
故答案为：.
9．【答案】
【分析】将代入方程，化简结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得：，即，
所以或，
所以或，，
又，则.
故答案为：.
10．【答案】
【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可.
【详解】因为，
又因为，所以函数为偶函数，
即，，
，
所以，.
故答案为：.
11．【答案】
【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解.
【详解】分别过作交于点，作交于点，
则，
设，则，
由题可知即，
所以，故的最小值为.
故答案为：.
12．【答案】
【分析】明确分段函数两段的性质，进而作出其图象，将方程恰有四个不同的实数解转化为的图象与直线有4个不同的交点，由图象确定，，，的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
当时，，
令，则；
当时，；
当时，，
令，则或4；令，则或2；
由此可作出函数的图象如图：

由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，
故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知，
不妨设，则，
且关于对称，所以，
又即，则，
故，
由于在上单调递增，故，
所以，
故的取值范围是，
故答案为：
13．【答案】A
【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解.
【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足；
充分性：若，则，故充分性满足；
故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选A.
14．【答案】D
【分析】由题设写出A、B的点坐标，进而得到对应的点坐标，即可判断其对应点所在象限.
【详解】由复数的几何意义知，，故，
所以表示的复数所对应的点位于第四象限.
故选D.
15．【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误；
对B，设，定义域为，且，则其为偶函数，
因为周期为，则的周期为，故B正确；
对C，是奇函数，周期为，故C错误；
对D，是奇函数，周期为，故D错误.
故选B.
16．【答案】D
【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化简即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D.
【详解】对于A，，其虚部为1，A错误；
对于B，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；
对于C，
，故C错误；
对于D，，，
，，
因此的面积为：，面积的最大值为，D正确.
故选D.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量夹角余弦值的坐标公式即可求解；
（2）根据垂直的数量积表示及向量模长即可解出．
【详解】（1），
， ，
所以，
因为,则.
（2）因为向量与互相垂直，
所以，
即，解得：.
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值；
（2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值.
【详解】（1）由是纯虚数得，解得.
所以当时，是纯虚数.
（2）当时，，
因为是关于的方程的一个根，所以，
即，整理得，
所以，解得.
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式即可；
（2）求出，再利用两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）因为点为角终边上一点，则，
，
则.
（2）因为，所以.
因为，所以.
因为，所以，
所以
.
20．【答案】(1)
(2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大
(3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大
【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解.
（2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解.
（3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解.
【详解】（1）若，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为.
（2）设米，则，
又，所以，
所以烧烤区的面积为，
所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米，
所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大.
（3）由（2）得米，
所以在中由题意得，即，
所以，
所以
，
又，所以，
所以当即时，有最大值为，
此时，，
所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大.
21．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解.
（2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解.
（3）分离参数得，将函数在上有四个零点转化成
则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解.
【详解】（1）因为，所以的互生向量.
（2）由题意可得，所以，
令，解得，
因为，所以，
所以函数在上的严格增区间为.
（3）由题，则，
若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根，
则函数与在上的图象有四个交点，
因为，
所以，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知k的取值范围为.