上海市松江区第四中学2026届高三上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份上海市松江区第四中学2026届高三上学期期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A. y=x12B. y=x3C. y=2xD. y=lnx
2.设α：实数x满足xx−13k2+1在(−∞,0]上恒成立，求实数k的取值范围．
19.(本小题16分)
已知f(x)=sinωx(ω>0)．
(1)f(x)的周期是4π，求ω，并求此时f(x)=12的解集；
(2)已知ω=1，g(x)=f2(x)+ 3f(−x)fπ2−x，x∈0,π4，求g(x)的值域．
20.(本小题17分)
已知某企业2025年第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业2025年第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%．
(1)求2025年起前20季度营业额的总和；
(2)求2025年起哪一季度的利润超过0.2亿？
(3)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？
21.(本小题17分)
记y=f′(x),y=g′(x)分别为函数y=f(x),y=g(x)的导函数.若存在x0∈R，满足fx0=gx0且f′x0=g′x0，则称x0为函数y=f(x)与y=g(x)的一个“S点”．
(1)证明：函数y=x与y=x2+2x−2不存在“S点”：
(2)若函数y=ax2−1与y=lnx存在“S点”，求实数a的值：
(3)已知f(x)=−x2+a,g(x)=bexx，若存在实数a>0，使函数y=f(x)与y=g(x)在区间(2,+∞)内存在“S点”，求实数b的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.1,2,3
6.(−∞,−1)∪(4,+∞)．
7.189
8.12/0.5
9.−45/−0.8
10.3+2 2
11.14
12.3 154
13.4
14.(136,83]
15. 2
16.5 33/53 3
17.【详解】(1)由2a+b= (2a+b)2= 4a2+b2+4a⋅b= 64+64+4×4×8×(−12)= 64+64−64=8；
(2)由题设a+2b⋅ka−b=ka2−2b2+(2k−1)a⋅b=16k−128−16(2k−1)=0，
所以−16k=112，可得k=−7．

18.【详解】(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
所以m⋅4−x+12−x=−m⋅4x+12x，整理并化简得：m2−x+2x=−m2x−2−x，
解得m=−1；
(2)当m=1时，f(x)=4x+12x>0，
又3k2+1>0，且2k⋅f(x)>3k2+1在(−∞,0]上恒成立，
故原不等式等价于2k3k2+1>1f(x)在(−∞,0]上恒成立，
又x∈(−∞,0]，所以2x>0，
所以f(x)=2x+12x≥2 2x⋅12x=2，当且仅当2x=12x，即x=0时取得最小值，
所以f(x)∈[2,+∞)，所以1f(x)∈(0,12],
所以2k3k2+1>12，解得131.25，
因为1.04526，
所以2025年起第27季度的利润首次超过该季度营业额的18%．

21.【详解】(1)因为y=x，y=x2+2x−2，则y′=1,y′=2x+2，
假设函数y=x与y=x2+2x−2存在“S点”，
即存在x0满足x0=x02+2x0−21=2x0+2，方程组无解，
所以函数y=x与y=x2+2x−2不存在“S点”．
(2)函数y=ax2−1与y=lnx，则y′=2ax与y′=1x，
设“S点”为x0，则x0满足ax02−1=lnx02ax0=1x0，解得x0=e−12a=e2，所以a=e2．
(3)由已知条件可知，f′(x)=−2x,g′(x)=bxex−bexx2=exb(x−1)x2，
由题意可知，在区间(2,+∞)内存在“S点”设为x0，
则−x02+a=bex0x0−2x0=ex0b(x0−1)x02，解得a=x02(x0−3)x0−1b=2x03(1−x0)ex0,
因为a=x02(x0−3)x0−1，由a>0且x0∈(2,+∞)，解得x0>3，
令h(x)=2x3(1−x)ex,h′(x)=2x2(x2−3x+3)(1−x)2ex，
因为x2−3x+3>0在(2,+∞)恒成立，所以h′(x)=2x2(x2−3x+3)(1−x)2ex>0，
则h(x)=2x3(1−x)ex在(2,+∞)上单调递增，
则h(x)=2x3(1−x)ex>h(3)=−27e3，所以b> −27e3，
又当x∈(2,+∞)时，h(x)=2x3(1−x)ex