[数学]2023_2024学年上海松江区松江四中高一下学期期末数学试卷(原题版+解析版)

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2023~2024学年上海松江区松江四中高一下学期期末数学试卷
1. “
”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2. 设在复平面内，复数
A. 第一象限
和
对应的点分别为
B. 第二象限
，则向量
表示的复数所对应的点位于（
C. 第三象限
）
D. 第四象限
3. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（
A. B.
）
C.
D.
4. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：
，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩
大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是
（
A.
C.
）
的虚部为
B. 复数
D. 若
在复平面内对应的点位于第二象限
在复平面内分别对应点
，则
面
积的最大值为
5. 已知向量
，若
，则实数
．
6. 半径为6，圆心角等于的扇形的面积是
．
7. 已知复数满足
8. 已知
，则复数
．
，且
，则
．
9. 若
，则
．
10. 在
中，内角A、B、C所对边边长分别为a、b、c，若
，则
．
11. 已知向量
12. 若函数
，则向量在方向上的投影向量的坐标为
．
的部分图象如图所示，则函数的解析式
．
13. 若
是方程
的解，其中
，则
．

14. 设函数
对任意的实数均满足
，则
．
15. 如图，直径
的半圆，为圆心，点在半圆弧上，
，线段
上有动点，则
的最小值为
．
16. 已知函数
17. 已知
，若方程
恰有四个不同的实数解，分别记为
，
，
，
，则
的取值范围是
．
(1)设向量
(2)若向量
的夹角为，求的值；
互相垂直，求的值．
与
18. 已知为虚数单位，复数
．
(1)当实数取何值时，是纯虚数；
(2)当
时，复数是关于的方程
的一个根，求实数与的值．
19. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点
．
(1)求
(2)若
的值；
，且
，求
的值．
20. 在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图
所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形
区域中，将三角形
区域设立成花卉观赏区，三角形
米，
区域设立成烧烤区，边
修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中
米，
、
、
、
，其中
．
(1)若
(2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？
(3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？
米，求烧烤区的面积？
21. 已知为坐标原点，对于函数
数．
，称向㝵
为函数
的互生向量，同时称函数
为向量
的互生函
(1)设函数
，试求
，求函数
，若函数
的互生向量
；
(2)记向量
(3)记
的互生函数为
在
上的严格增区间；
上有四个零点，求实数的取值范围．
的互生函数为
在