2023-2024学年广东省广州市三校高一（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州市三校高一（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|0}，则A∩B等于（ ）
A．（﹣3，3）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2）D．[﹣2，3）
2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝i，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若△ABC有两解，则b的取值范围是（ ）
A．（3，6）B．C．D．
6．（5分）若古典概型的样本空间Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，甲：事件B＝Ω，乙：事件A，B相互独立，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）﹣1为奇函数，若f（1）＝0，则（ ）
A．23B．24C．25D．26
8．（5分）已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA，若αβ，则α+β的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知一组样本数据x1，x2，…，xn（x1＜x2＜…＜xn），现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变
C．极差变小D．方差变小
（多选）10．（6分）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例．透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1、A2、A3，则（ ）
A．A1＞2A2B．A2+A3＞A1
C．A1+A3＞2A2D．A1A3
（多选）11．（6分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M为边BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，（ ）
A．异面直线CN与AB1所成的角为定值
B．存在某个位置使得AM⊥B1D
C．点C始终在三棱锥B1﹣AMD外接球的外部
D．当二面角B1﹣AM﹣D为60°时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a﹣b|≤1”的概率为 ．
13．（5分）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA，c＝3，则b＝ ．
14．（5分）将四个半径为2的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
16．（15分）已知函数．
（1）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间；
（2）若在区间上恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求cs（x1﹣x2）的值．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝2PA＝2BC＝2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有的值；若不存在，说明理由．
18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求．
（2）若a＞c，角B的平分线交AC于D，
（Ⅰ）求证：BD2＝BA•BC﹣DA•DC．
（Ⅱ）若a＝1，求DB•AC的最大值．
19．（17分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，…，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（1）判断g（x）＝x2﹣2x+1（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+4（x∈[0，5]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2，若h（x）＝ax﹣[ax]，x∈（0，2）为，x∈[0，+∞）的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围．
2023-2024学年广东省广州市三校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的。
1．（5分）若集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}，B＝{x|0}，则A∩B等于（ ）
A．（﹣3，3）B．[﹣2，2）C．（﹣2，2）D．[﹣2，3）
【分析】运用二次不等式和分式不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：集合A＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，
B＝{x|0}＝{x|﹣2≤x＜3}，
则A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}＝[﹣2，2），
故选：B．
【点评】本题考查集合的交集的求法，同时考查二次不等式和分式不等式的解法，考查定义法的运用，属于中档题．
2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）＝i，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．
【解答】解：z（1﹣i）＝i，
则z，
故，其虚部为．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，是基础题．
3．（5分）边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，求出原图的面积，结合直观图面积与原图面积的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，原图为边长为2的正三角形，其面积S2×2×sin60°，
则其直观图的面积S′S．
故选：A．
【点评】本题考查平面图形的直观图，注意直观图面积与原图面积的关系，属于基础题．
4．（5分）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．
【解答】解：∵，∴，可得，
所以在方向上的投影向量为．
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．
5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若△ABC有两解，则b的取值范围是（ ）
A．（3，6）B．C．D．
【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出b的范围．
【解答】解：三角形中，B，c＝6，则△ABC有两解的充要条件为：csinB＜b＜c，
即3＜b＜6，即B∈（3，6）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形有两解的充要条件的应用，属于中档题．
6．（5分）若古典概型的样本空间Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，甲：事件B＝Ω，乙：事件A，B相互独立，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由相互独立事件的定义判断充分性，举出反例可得必要性不成立，由充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，样本空间Ω＝{1，2，3，4}，事件A＝{1，2}，
则P（Ω）＝1，P（A），
又由A⊂B，则P（AΩ）＝P（A），则事件A、B相互独立，
反之，若事件A，B相互独立，B可以为{3，4}，
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查随机事件的定义，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x+2）﹣1为奇函数，若f（1）＝0，则（ ）
A．23B．24C．25D．26
【分析】根据题意，由函数的对称性可得f（x）+f（x+2）＝2和f（x）＝f（x+4），进而得到f（1）+f（2）+⋯+f（26）＝6[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2），即可求解结论．
【解答】解：根据题意，因为f（x+1）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，即有f（1+x）＝f（1﹣x），变形可得f（x）＝f（﹣x+2）①．
又由f（x+2）﹣1为奇函数，所以f（x+2）﹣1＝﹣f（﹣x+2）+1，变形可得f（x+2）+f（﹣x+2）＝2②．
由①，②得f（x）+f（x+2）＝2，f（x+2）+f（x+4）＝2，
故有f（x）＝f（x+4），
由f（x）+f（x+2）＝2，得f（0）+f（2）＝2，又f（x）＝f（﹣x+2），可得f（0）＝f（2）＝1，
f（1）+f（3）＝2，f（2）+f（4）＝2，由f（1）＝0，得f（3）＝2，
故f（1）+f（2）+⋯+f（26）＝6[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝6×4+0+1＝25．
故选：C．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
8．（5分）已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA，若αβ，则α+β的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】以BC边所在直线为x轴，BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．由外接圆的性质可得∠BOD＝∠COD＝∠BAC．由csA，不妨设外接圆的半径R＝3．则OA＝OB＝OC＝3．可得B，C，O的坐标，设A（m，n）．则△ABC外接圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝9．（*）利用向量相等，αβ，可得，又α+β≠1时，α，由图可知是不可能的．可化为，代入（*）可得9，化为18（α+β）＝9+32αβ，利用基本不等式可得18（α+β）≤9+32（）2，化为8（α+β）2﹣18（α+β）+9≥0，即可解出所求最大值．
【解答】解：如图所示，以BC边所在直线为x轴，
BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（D为BC边的中点）．
由外接圆的性质可得∠BOD＝∠COD＝∠BAC．
由A为锐角且sinA，
不妨设外接圆的半径R＝3．则OA＝OB＝OC＝3．
∵cs∠CODcsA，
∴OD＝1，DC2．
∴B（﹣2，0），C（2，0），O（0，1），A（m，n），
则△ABC外接圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝9．（*）
∵αβ，
∴（﹣m，1﹣n）＝α（﹣2m，﹣n）+β（2m，﹣n），
∴，
∵α+β≠1时，否则α，由图可知是不可能的．
∴可化为，
代入（*）可得9，
化为18（α+β）＝9+32αβ，
利用基本不等式可得18（α+β）≤9+32（）2，
化为8（α+β）2﹣18（α+β）+9≥0，
解得α+β或α+β．
又α+β＜1，故α+β应舍去．
∴α+β，
则α+β的最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量的有关运算、圆的标准方程、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、三角形的外接圆的性质、余弦函数等基础知识与基本技能方法，属于难题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知一组样本数据x1，x2，…，xn（x1＜x2＜…＜xn），现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的样本数据（ ）
A．平均数不变B．中位数不变
C．极差变小D．方差变小
【分析】由平均数、中位数、极差及方差的概念计算即可．
【解答】解：对于A项，新数据的总数为：，故平均数不变，A正确；
对于B项，不妨设原数据为：1，2.5，3，则新数据为：1.75，2.75，2，显然中位数变了，故B错误；
对于C项，原数据极差为：xn﹣x1，新数据极差为：，，极差变小了，故C正确；
对于D项，由于两组数据的平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，故方差变小，即D项正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了平均数、中位数、极差及方差的计算公式，属于基础题．
（多选）10．（6分）吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例．透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1、A2、A3，则（ ）
A．A1＞2A2B．A2+A3＞A1
C．A1+A3＞2A2D．A1A3
【分析】根据题意，由指数式和对数式的关系可得A1＝﹣lg0.6，A2＝﹣lg0.7，A3＝﹣lg0.8，由对数函数的性质依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，，即10A，则A＝lglgT，
则A1＝﹣lg0.6，A2＝﹣lg0.7，A3＝﹣lg0.8，
依次分析选项：
对于A，A1＝﹣lg0.6，2A2＝﹣2lg0.7＝﹣lg0.49，
由于lg0.6＞lg0.49，则有﹣lg0.6＜﹣lg0.49，即A1＜2A2，A错误；
对于B，A2+A3＝（﹣lg0.7）+（﹣lg0.8）＝﹣lg0.56，
由于lg0.6＞lg0.56，则有﹣lg0.6＜﹣lg0.56，即A2+A3＞A1，B正确；
对于C，A1+A3＝（﹣lg0.6）+（﹣lg0.8）＝﹣lg0.48，2A2＝﹣2lg0.7＝﹣lg0.49，
由于lg0.48＜lg0.49，则有﹣lg0.48＞﹣lg0.49，即A1+A3＞2A2，C正确；
对于D，A1A3＝（﹣lg0.6）（﹣lg0.8）＝lg0.6×lg0.8，（﹣lg0.7）（﹣lg0.7）＝lg0.7×lg0.7，
由于lg0.70.6，
lg0.80.7，
＝lg0.7lg0.7，
＝lg0.8lg0.8，
则有lg0.70.6＜lg0.80.7，即，必有A1A3，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了对数的运算，涉及指数式与对数式的互化，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M为边BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，（ ）
A．异面直线CN与AB1所成的角为定值
B．存在某个位置使得AM⊥B1D
C．点C始终在三棱锥B1﹣AMD外接球的外部
D．当二面角B1﹣AM﹣D为60°时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积为
【分析】A选项，作出辅助线，找到∠HNC或∠HNC的补角为异面直线CN与AB1所成的角，利用余弦定理求出，异面直线CN与AB1所成的角的余弦值为定值；
B选项，假如AM⊥B1D可证出AM⊥MB1，与矛盾；
C选项，作出辅助线，得到OM即为三棱锥B1﹣AMD外接球的半径，由于HC＞HM，所以OC＞OM，可得到C正确；
D选项，作出辅助线，找到∠B1TH即为二面角B1﹣AM﹣D为平面角，即∠B1TH＝60°，求出各边长，再找到球心，利用半径相等列出方程，求出外接球半径和表面积．
【解答】解：A选项，矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，M为边BC的中点，
所以△ABM为等腰直角三角形，故，
翻折过程中，，
取AD的中点H，连接HN，HC，
因为N为线段B1D的中点，所以HN∥AB1，则∠HNC或∠HNC的补角为异面直线CN与AB1所成的角，
因为M为边BC的中点，所以AH∥MC，且AH＝MC，
所以四边形AMCH为平行四边形，故AM∥HC，
所以，
其中，
由余弦定理得，
故，
故，
所以异面直线CN与AB1所成的角的余弦值为正确；
B选项，因为，所以AM2+MD2＝AD2，故AM⊥MD，
假如AM⊥B1D，因为MD∩B1D＝D，MD，B1D⊂平面MB1D，
所以AM⊥平面MB1D，
因为MB1⊂平面MB1D，所以AM⊥MB1，这与矛盾，
故假设不成立，所以不存在某个位置使得AM⊥B1D，B错误；
C选项，由于AM⊥MD，故△ADM外接圆的圆心为H，
设三棱锥B1﹣AMD外接球球心为O，则OH⊥平面AMCD，
连接OM，则OM即为三棱锥B1﹣AMD外接球的半径，
由于HC＞HM，所以OC＞OM，
所以点C始终在三棱锥B1﹣AMD外接球的外部，C正确；
D选项，取AM的中点T，连接，
因为B1A＝B1M，所以B1T⊥AM，且HT∥MD，
所以HT⊥AM，所以∠B1TH即为二面角B1﹣AM﹣D为平面角，即∠B1TH＝60°，
过点B1作B1K⊥TH于点K，则，，
因为AM⊥B1T，AM⊥HT，B1T∩HT＝T，所以AM⊥平面B1TH，
因为B1K⊂平面B1TH，所以AM⊥B1K，
因为AM∩TH＝T，AM，TH⊂平面AMCD，所以B1K⊥平面AMCD，
由C选项可知，三棱锥B1﹣AMD外接球球心为O，则OH⊥平面AMCD，
过点O作OS⊥B1K于点S，则，
若球心在平面ABCD的上方时，如图，此时，
由勾股定理得，
故，解得，不合要求，舍去；
若球心在平面ABCD的下方时，如图，此时，
由勾股定理得，
故，解得，满足要求，代入上式可得外接球半径为，
三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积为，
故当二面角B1﹣AM﹣D为60°时，三棱锥B1﹣AMD的外接球表面积为正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a﹣b|≤1”的概率为 ．
【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出事件“|a﹣b|≤1”包含的基本事件（a，b）有15个，由此能求出事件“|a﹣b|≤1”的概率．
【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，
基本事件总数n＝6×6＝36，
事件“|a﹣b|≤1”包含的基本事件（a，b）有15个，分别为：
（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），
则事件“|a﹣b|≤1”的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（5分）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA，c＝3，则b＝ ．
【分析】法一：由已知结合余弦定理及同角平方 关系即可求解b．
法二：由已知结合正弦定理可先求出sinB，进而可求B，然后结合余弦定理可求．
【解答】解：法一：因为a＝2，bsinA，
所以sinA，
由余弦定理得，csA，
由题意知A为锐角，且1，
整理得，b4﹣26b2+133＝0，
所以b或b，
当b时，a＝2，c＝3，此时a2+c2＜b2，B为钝角，与已知矛盾，
故b．
法二：由正弦定理得，asinB＝bsinA，
又a＝2，
所以sinB，
由B为锐角得，B，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accsB＝4+9﹣27，
所以b．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理，同角平方关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
14．（5分）将四个半径为2的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为 ．
【分析】大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，求出棱长为4的正四面体的外接球半径，即可得出结论
【解答】解：大球表面积的最小时，四个小球两两外切并均与大球内切，
大球的半径是棱长为4的正四面体的外接球半径加小球半径2，如图所示：
把棱长为4的正四面体扩成棱长为的正方体，其中正四面体的棱为正方体各面的对角线，如图所示：
则正四面体的外接球也是正方体的外接球，外接球半径为，
所以这时大球的半径为，
则这个大球表面积的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内切球问题，化归转化思想，属中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在[50，60）的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
【分析】（1）根据图中小矩形面积之和可求得a＝0.030；
（2）利用频率分布直方图计算百分位数公式可得，第75百分位数为84；
（3）将总体平均数代入总体方差公式计算可得总方差为s2＝23．
【解答】解：（1）利用每组小矩形的面积之和为1可得，
（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，
解得a＝0.030；
（2）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65，
落在[40，90）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030+0.025）×10＝0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，得m＝84，
故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，
故；
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
16．（15分）已知函数．
（1）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间；
（2）若在区间上恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求cs（x1﹣x2）的值．
【分析】（1）利用三角函数的性质，结合整体代入法即可得解；
（2）利用三角函数的对称性得到，由题设条件得到，从而利用诱导公式即可得解．
【解答】解：（1）对于，
令，解得，
因为x∈[0，2π]，当k＝0时，；当k＝1时，；
所以f（x）在[0，2π]上的单调递减区间为．
（2）因为g（x）在区间上恰有2个零点x1，x2（x1＜x2），
所以在有两个根，
令，解得，
所以当时，函数f（x）图像的对称轴为，
所以，则，
又，则，
所以．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
17．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝2PA＝2BC＝2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为45°？若存在，求出有的值；若不存在，说明理由．
【分析】（I）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA＝45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BCAD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取AD中点M，连接CM，可证得CM⊥平面PAD，连接ME，∠CME就是CE与平面PAD所成的角，进而根据CE与平面PAD所成的角为45°，得到满足条件的E点位置，进而得到答案．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，
∵PA＝BC＝1，AD＝2．
∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AB，
而∠PBA＝45°，
∴AB＝1，
又∠ABC＝∠BAD＝90°，
易得CD＝AC．
由勾股定理逆定理得则AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAC，
又∵CD⊂平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．
（Ⅱ）取AD中点M，连接CM，
∵AD＝2BC，故AM＝BC，
此时四边形ABCM为矩形，则CM⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，
∴PA⊥CM．
∵AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA＝A，
∴CM⊥平面PAD，
连接ME，∠CEM就是CE与平面PAD所成的角．
∵CM＝1，
∴ME＝1，在△PAD中，MD＝1，1．
不难求到另一个点E的位置为，
所以，线段PD上存在点E，使CE与平面PAD所成的角为450，此时1或．
【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面的夹角，存在性问题，难度中档．
18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求．
（2）若a＞c，角B的平分线交AC于D，
（Ⅰ）求证：BD2＝BA•BC﹣DA•DC．
（Ⅱ）若a＝1，求DB•AC的最大值．
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角互化，分析运算，即可得到答案；
（2）（Ⅰ）根据正余弦定理结合角度关系分析，即可证明结论；
（Ⅱ）根据已知结论可得，利用基本不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）因为，
结合正弦定理和余弦定理可得，
即2a2+2c2﹣5ac＝0，方程两边同时除以c2（c≠0），
得，
令，所以2t2+2﹣5t＝0，
解得t＝2或，
即或，
所以或；
（2）
（Ⅰ）证明：在△ABD中，由正弦定理得①，
由余弦定理得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BDcs∠ADB②，
同理在△BCD中，则③，
BC2＝CD2+BD2﹣2CD•BDcs∠CDB④，
因为BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD＝∠CBD，
所以sin∠ABD＝sin∠CBD，又∠ADB+∠CDB＝π，
则sin∠ADB＝sin∠CDB，cs∠ADB+cs∠CDB＝0，
①÷③得⑤，
所以，
CD×②+AD×④得CD•AB2+AD•BC2＝CD•AD（AD+CD）+（CD+AD）•BD2
＝CD•AD•AC+AC•BD2，
所以
，得证．
（Ⅱ）因为a＞c，所以，即a＝2c＝1，
由⑤式可知，
所以，，
由（1）得，
所以，
，当且仅当，时等号成立，
所以，
故DB•AC的最大值为．
【点评】本题考查了解三角形以及基本不等式的应用，有一定的难度．
19．（17分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2，…，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（1）判断g（x）＝x2﹣2x+1（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+4（x∈[0，5]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2，若h（x）＝ax﹣[ax]，x∈（0，2）为，x∈[0，+∞）的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围．
【分析】（1）根据新定义，结合单调性即可求解；
（2）先求出f（x）的值域，然后把问题转化为y＝g（x）与y＝k有两个交点，然后对a分类讨论即可求解；
（3）由题意可得0，则有对于任意m∈，h（x）＝m，x∈（0，2）要有2024个根，作出函数h（x）的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：（1）g（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，（x∈[0，4]），f（x）＝x+4，x∈[0，5]），
由定义可得，对任意x0∈[0，5]，恰好存在不同的实数x1，x2，……，xn∈[0，4]，
使得g（x1）＝f（x0），其中（i＝1，2，…，n，n∈N*），
即x0+4∈[4，9]，可得xi∈[3，4]，
所以对于任意x0∈[0，5]，能找到一个x1，使得，
所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，n＝1；
（2）由题意可得的定义域为R，
即对任意x0∈R，存在2个不同的实数x1，x2∈[﹣2，+∞），
使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2），
因为2x＞0，则，
所以，即，
即对任意0＜k＜1，g（x）＝k有2个实根，
当x＞1时，g（x）＝x﹣1＝k已有一个根，故只需﹣2≤x≤1时，g（x）＝k仅有1个根，
当a＝0 时，g（x）＝﹣3x+1，符合题意，
当a＞0时，g（﹣2）＝4a﹣4a+6+1＝7，则需满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得，
当a＜0时，抛物线开口向下，g（﹣2）＝4a﹣4a+6+1＝7，g（0）＝1，
若仅有1个根，由a＜0可知，
当x∈[﹣2，0]时，g（x）≥1，所以g（x）＝k无解，
则只需，解得a＜0，
综上，实数a的取值范围是{a|}；
（3），
则对于任意，h（x）＝m，x∈（0，2）要有2024个根，
h（x）＝ax﹣[ax]，作出函数的图像，如图：
易知，当x∈[，）时，h（x）＝ax﹣2023，
此时当m时，则有ax﹣2023，
解得x，
要使h（x）＝m，x∈（0，2）有2024个根，
则2，
又a＞0，则a≤1012，
故正实数a的取值范围（，1012]．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．
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材料1
材料2
材料3
T
0.6
0.7
0.8
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
B
A
A
C
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BCD
ACD
玻璃材料
材料1
材料2
材料3
T
0.6
0.7
0.8