数学：山东省济宁市2025届高三下学期考前押题联合检测试题（解析版）

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一、单选题
1．已知集合M=0,2,4,6,8，N=xx-3≤2，则M∩N=（ ）
A．2,4B．2,6C．0,2,4D．2,4,6
【答案】A
【解析】因为x-3≤2，所以-2≤x-3≤2，解得1≤x≤5，
故N=x1≤x≤5，
所以M∩N=2,4，
故选：A.
2．已知向量a=x,2，b=3,-1，若a∥b，则a-b=（ ）
A．33B．6C．9D．63
【答案】B
【解析】因为a∥b，所以x3=2-1，解得x=-23，
a=-23,2，所以a-b=-33,3，所以a-b=6.
故选：B.
3．在x-x136的展开式中，x4的系数为（ ）
A．20B．10C．-10D．-20
【答案】D
【解析】Tr+1=C6rx6-r-x13r=C6r-1rx6-23r，
令6-23r=4，所以r=3，此时x4的系数为C63-13=-20，
故选：D.
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，CD=3，若将直角梯形ABCD绕直线AB旋转一周，则形成的旋转体的体积为（ ）
A．25π3B．26π3C．28π3D．29π3
【答案】C
【解析】容易知道形成的旋转体的体积是一个底面半径为r=2，高为h1=3的圆柱的体积减去一个底面半径为r=2，高为h2=2的圆锥的体积，
V柱=πr2h1=π×4×3=12π，
V锥=13πr2h2=13×π×4×3-1=8π3，
所以旋转体的体积V=V柱-V锥=12π-8π3=28π3，
故选：C.
5．已知函数fx=23-3x，则下列是奇函数的是（ ）
A．fx+2+13B．fx+1-13
C．fx+2+3D．fx+1-3
【答案】B
【解析】因为fx=23-3xx≠1，
对于A，fx+2+13=23-3x+2+13x≠-1，定义域不关于原点对称，
所以fx+2+13不是奇函数，故A错误；
对于B，所以fx+1=23-3x+1=2311-3xx≠0，则fx+1-13=131+3x1-3x，
令gx=fx+1-13=131+3x1-3xx≠0，定义域关于原点对称，
g-x=131+3x3x-1=-gx，所以B正确；
对于C，fx+2+3=23-3x+2+3x≠-1，定义域不关于原点对称，
所以fx+2+3不是奇函数，故C错误；
对于D，所以fx+1=23-3x+1x≠0，则fx+1-3=23-3x+1-3，
令gx=23-3x+1-3，定义域关于原点对称，
g-x=23-3-x+1-3=2×3x3x-3-3=2+63x-3-3=63x-3-1≠-gx，
所以fx+1-3不是奇函数，所以D不正确；
故选：B.
6．已知双曲线C：x2a2-y216=1a>0的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，C的两条渐近线方程为y=±43x，若MF2=7，则MF1=（ ）
A．1B．13C．1或13D．2或14
【答案】B
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为y=±43x，所以a=3，c=5，
根据双曲线定义，MF1-MF2=±6，MF1=MF2±6=7±6
解得MF1=13或1，又MF1≥c-a=2，所以MF1=13.
故选：B.
7．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点Am,3mm≠0是角α终边上一点，则cs2α-π4=（ ）
A．-210B．-110C．110D．210
【答案】A
【解析】由题意可得，tanα=3mm=3，所以sin2α=2tanα1+tan2α=2×31+32=35，
cs2α=1-tan2α1+tan2α=1-321+32=-45，
cs2α-π4=22cs2α+sin2α=22×-15=-210.
故选：A.
8．已知x>0，y>0，且xy+2y2-36=0，则xy2的最大值（ ）
A．12B．66C．36D．246
【答案】D
【解析】由xy+2y2-36=0，得yx+2y=36，则x=36y-2y，
因为x>0，y>0，所以xy2=y236y-2y=y36-2y2=y236-2y236-2y2
=14×4y236-2y236-2y2≤12×4y2+36-2y2+36-2y233=246
当且仅当y=6，x=46时等号成立，
所以xy2的最大值为246，
故选：D.
二、多选题
9．已知复数z1=1+2i,z2=-2+i，则（ ）
A．z1=z2
B．复数z1z2在复平面内对应的点位于第三象限
C．z1=iz2
D．z1的虚部与z2的虚部之和为3
【答案】ABD
【解析】由题意得，z1=1+4=5，z2=4+1=5，所以z1=z2，故A正确；
因为z1z2=1+2i-2+i=-4-3i，其对应点-4,-3位于第三象限，故B正确；
因为iz2=i-2+i=-1-2i，故C错误；
z1的虚部为2，z2的虚部为1，虚部和为3，故D正确；
故选：ABD.
10．设函数fx=x3-3x+2，则（ ）
A．fx有三个零点
B．fx在区间-1,1上单调递减
C．点0,f0为曲线y=fx的对称中心
D．当x>1时，fx+1+fx>4
【答案】BCD
【解析】对于A，因为fx=x3-3x+2=x3-x-2x+2=xx+1x-1-2x-1
=x-1x2+x-2=x-12x+2，
令fx=0得：x=-2或x=1，fx有且仅有两个零点，故A错误；
对于B，f'x=3x2-1，由f'x0得：x1，
所以fx在区间1,+∞上单调递增，
故当x>1时，fx>f1=0，
又x+1>2，所以fx+1>f2=23-3×2+2=4，
所以fx+1+fx>f2+f1=4，故D正确.
故选：BCD.
11．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y2=8x的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为θ，两条反射光线a'和b'之间的距离为d，则（ ）
A．d随θ的增大而减小
B．若d=8，则θ=π3
C．若三角形△ABF的面积为S，则S=2d
D．无论θ取何值，直线AB恒过定点-2,0
【答案】ACD
【解析】对于A，由AF=41+csθ，BF=41-csθ得，
d=BF-AFsinθ=8tanθ，因为tanθ>0，又y=tanθ在0,π2内是增函数，
所以d=8tanθ在0,π2内是减函数，故A正确；
对于B，由tanθ=88=1得，θ=π4，故B错误；
对于C，S△ABF=12AFBFsinπ-2θ=12AFBFsin2θ=12×41+csθ×41-csθ×sin2θ=16tanθ，又d=8tanθ，所以S=2d，故C正确；
对于D，设直线AB的方程为x=my+t，且Ax1,y1，Bx2,y2，
由x=my+ty2=8x得，y2-8my-8t=0，所以y1+y2=8m，y1y2=-8t，
又1kAF+1kBF=x1-2y1+x2-2y2=2my1y2+t-2y1+y2y1y2=0，
所以2m×-8t+t-2×8m=0，解得：t=-2，所以直线AB的方程为x=my-2，
其恒过定点-2,0，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．设数列an是等差数列，若a1=2，a7=4a2，则数列an的前9项和为 .
【答案】126
【解析】设公差为d，则an=2+n-1d，
因为a7=4a2，所以2+6d=42+d，解得：d=3，
所以an=3n-1，S9=9a1+a92=92+262=126.
故答案为：126.
13．已知函数fx=3x,x≤2fx-2,x>2，则ff92= .
【答案】33
【解析】因为f92=f52=f12=3，所以ff92=f3=33.
故答案为：33
14．已知锐角三角形中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若sin2B+sin2C=4sin2A，ksinA=sinB+sinC，则实数k的取值范围是 .
【答案】6+102,22
【解析】因为sin2B+sin2C=4sin2A，由正弦定理得b2+c2=4a2，
所以A不是最大角，不妨设b≥c，则b20，y0>0，且A1,0，B0,3，
因为OM⋅AM=132，所以x02-x0+y02=132，
因为x02+y029=1，所以16x02+2x0-5=0，
解得x0=12（x0=-58舍去），此时y0=332，
故点M的坐标为12,332.
（II）在（I）的条件下，M'的坐标为-x0,-y0，记四边形AMBM'的面积为S，则S=S△M'MA+S△MM'B=2S△AOM+2S△BOM=2×12×3x0+2×12×1×y0=3x0+y0，
由基本不等式得：9x02+6x0y0+y02≤2y02+9x02，
因为9x02+y02=9，所以S≤2×9=32.
当且仅当3x0=y0x02+y029=1，即x0=22y0=322时等号成立，
故四边形AMBM'的面积的最大值为32.
18．已知函数fx=lnx+ax2-x-32的图象在点1,f1处的切线与直线l：x+y=0垂直，记gx=exfx.
（1）求实数a的值；
（2）证明：gx有两个极值点；
（3）证明：当fx1=-fx2，t∈0,π4时，tant⋅lntant-12cs2t+x1+x24>0
（1）解：因为f'x=1x+2ax-1，
且曲线fx的图象在点1,f1处的切线与直线x+y=0垂直，
所以f'1=2a=1，解得a=12.
（2）证明：因为fx=lnx+12x2-x-32，所以gx=exfx=lnx+12x2-x-32ex，
所以f'x=lnx+12x2+1x-52ex.
令hx=lnx+12x2+1x-52，h'x=x3+x-1x2，
令px=x3+x-1，p'x=3x2+1>0，所以px单调递增，
又因为p1=1，p12=-38，所以∃x0∈12,1，px0=0，
当x∈0,x0时，px0，hx单调递增，
又因为h1=-1，h2=ln2>0，h18=112+1128-3ln2>0，
所以∃x1∈0,x0，x2∈x0,+∞，使得hx1=hx2=0，
此时hx有两个变号零点，所以gx有两个极值点.
（3）证明：因为fx1=-fx2，
所以fx1+fx2=lnx1+12x12-x1-32+lnx2+12x22-x2-32
=lnx1x2+12x1+x22-x1x2-x1+x2-3=0，
所以12x1+x22-x1+x2-3=x1x2-lnx1x2.
设φx=x-lnx，ϕ'x=1-1x，
当x∈0,1时，φ'x0在0,1内恒成立，
所以xlnx-x2+12+1=xlnx-x2-12>0，
故tant⋅lntant-12cs2t+x1+x24>0
19．设m，n为整数，且m≥n≥4.已知集合S=1,2,⋯,m，集合A为S的一个含有n个元素的子集.
（1）设m=6，n=4，写出2个不同的A，使得A中任意2个元素之差都不等于另2个元素之差；
（2）设m=2n，A=a1,a2,⋅⋅⋅,an，B=b1,b2,⋅⋅⋅,bn⊆S，且aibi+1，i=1,2,⋯,n-1，证明：若A∩B=∅，则n∑i=1ai-bi=n2；
（3）设集合C=∁SA，证明：若2n⋅⋅⋅>a1，且maxai,bi≥bi>bi+1>⋅⋅⋅>bn，
故maxai,bi不小于a1,a2,⋅⋅⋅,ai,bi,bi+1,⋅⋅⋅,bn共n+1个数，
所以maxai,bi∈n+1,n+2,⋅⋅⋅,2n；同理，minai,bi∈1,2,⋅⋅⋅,n，
所以n∑i=1ai-bi=n∑i=1maxai,bi-n∑i=1minai,bi=n∑i=1n+i-n∑i=1i=n∑i=1n=n2.
（3）证明：设A=a1,a2,⋅⋅⋅,an，且a1