福建省福州市闽侯县第二中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省福州市闽侯县第二中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知i是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．1B．iC．D．
2．在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A．B．C．D．
3．在中，内角的对边分别为a,b,c，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.55D．0.6
5．已知等腰中，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量满足．若，则（ ）
A．－2B．C．D．2
7．已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知、都是复数，下列选项正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则；
C．若，则；D．若，则．
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
11．如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线为异面直线
B．直线与平面所成角的正弦值为
C．二面角的平面角余弦值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为 ．
13．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为 ．
14．定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数，．
(1)若，，,对应的点在第四象限求的范围．
(2)若， 求的最大值．
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，是线段的中点.

(1)求证：PB//平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与底面所成角的正切值.
17．在中，.
(1)求角的大小；
(2)若在边上，，且，求的面积.
18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35-45岁所有人的年龄的方差．
19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用除法运算进行化简，然后利用虚部的定义进行求解即可
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选C.
2．【答案】C
【分析】利用正方体的特点，将异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，角形 为等边三角形，故 与的夹角为，从而得出异面直线的夹角为.
【详解】
正方体中， ，异面直线AC与的所成角即为 与所成的角，而三角形 为等边三角形，故 与的夹角为 ，所以异面直线AC与的所成角为.
故选C.
3．【答案】C
【分析】根据正弦定理计算可得.
【详解】由正弦定理可得,
再由和比定理得.
故选C.
4．【答案】C
【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：
533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442共11组，
因此，所求概率为.
故选C.
5．【答案】A
【分析】由投影向量的概况结合正弦定理可求.
【详解】

由题意可得，
由正弦定理可得，可得，
在上的投影为，
所以在上的投影向量为，
即在上的投影向量为.
故选A．
6．【答案】D
【分析】根据向量的运算性质，判断，即可求解.
【详解】由知，，则.
故选D.
7．【答案】B
【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
【详解】如图，
设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心，
在中，由3，，7，得，
故，设的外接圆的半径为，
则，，
．
三棱锥外接球的表面积为．
故选B.
8．【答案】D
【分析】先由正弦定理及两角和差得出,再由正弦定理边角互化结合辅助角公式计算即可.
【详解】中由正弦定理
,
,
,
,,
,时，的最大值为.
故选D.
9．【答案】BD
【分析】AC选项，举出反例；B选项，，设，，计算出，得到，计算出，B正确；D选项，设，，根据，得到，或，故.
【详解】A选项，设，，满足，但，A错误；
B选项，若，设，，
故，
则
，
又，故，B正确；
C选项，设，，满足，不满足，C错误；
D选项，设，，
则，，
因为，所以，
解得，或，故，D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【分析】根据相互独立事件的概率公式，可判断A、B、C，根据古典概型概率公式，可判断D.
【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，
第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确；
对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，
则，，，
“三个人都不能破译出密码”发生的概率为，
所以此密码被破译的概率为，故B正确；
对C：由题意可得，即，
即，即，
又，故，∴，故C错误；
对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有，
共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，
则概率，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【分析】证明，说明四点共面，即可得A；找到直线与平面所成角，解直角三角形可得其正弦值，即可得B；作出二面角的平面角，计算其余弦值，即可得C；作出过点B，E，F的平面截正方体的截面，求其面积即可得D.
【详解】对于A，连接，则为矩形，则，
而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故，
则四点共面，故直线，不是异面直线，故A错误；
对于B，由于平面，故即为直线与平面所成角，
而，则，
故，故B正确；
对于C，连接交于点O，连接，
平面平面，故，
又平面，故平面，
即为二面角的平面角，
又，
故，故C正确；
对于D，连接，则，
则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，
而，
故等腰梯形的高为，
故等腰梯形的面积为，
即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】
【分析】运用斜二测画法，逆向画出原图.求出四边形面积即可．
【详解】如图，运用斜二测画法，逆向画出原图.在轴位置不变，，长度不变；
点在轴上，求得，则，是原来的两倍；
，长度不变，．
则四边形为平行四边形，面积为：．
故答案为：．
13．【答案】3
【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在中，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的面积为.
故答案为：3.
14．【答案】
【分析】由等边圆锥和等边圆柱的定义可知，当等边圆柱内切于等边圆锥时体积最大，利用三角形相似求得圆柱半径可得其体积.
【详解】根据题意可知，等边圆锥的轴截面为等边三角形，且，
设等边圆柱轴截面是边长为的正方形，可知，如下图所示：
当圆柱体积最大时，等边圆柱内切于等边圆锥，
此时易知，即，可得，
解得，；
所以该圆柱的体积的最大值为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复数的几何意义，列不等式，即可求解；
（2）有复数模的公式，得到，再结合基本不等式，即可求解的最大值.
【详解】（1）由题意知， 解得，
故实数的范围为 ．
（2）， 所以，
所以， 故．
当且仅当， 所求最大值为．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接交于，连接，先证明，再通过线面平行的判定定理即可；
（2）先证明平面，即为三棱锥的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可；
（3）取中点，连接，，证明底面，即为直线与底面所成角的平面角，求解即可.
【详解】（1）连接交于，连接，
底面是正方形，
为中点，又是线段的中点，
，
又MO⊂平面，PB⊄平面，
平面.
（2）底面，
且底面，
CD⊥PA，
又，
且平面，，
平面.
根据三棱锥的体积公式：
.
（3）取中点，连接，，
，分别为，中点，
，又底面，
底面，
为直线与底面所成角的平面角，
，，
，
直线与底面所成角的正切值为.

【方法总结】求直线与平面所成角的方法
(1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，利用解三角形的知识求角．
(2)向量法：sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|＝(其中eq \(AB,\s\up6(→))为平面α的斜线AB的方向向量，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．
17．【答案】(1)2π3
(2).
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理化简即可得出所求角；
（2）由正弦定理求出，再由三角形的面积公式求解.
【详解】（1）由题意得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得.
因为，所以.
（2）如图，
因为，所以.
在中，由正弦定理得，
解得，
则或（舍去），
得，则.
故.
【方法总结】求三角形面积的方法：解三角形求出有关量，利用公式求面积，常用的面积公式为S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪个角就使用哪一个公式．
18．【答案】(1)（岁），；
(2)；
(3)10.
【分析】（1）利用频率分布直方图估计平均年龄，再求出第80百分位数.
（2）利用分层抽样求出第四、五组抽取的人数，再利用列举法计算概率.
（3）利用分层抽样的平均数方差公式计算即得.
【详解】（1）这些人的平均年龄为（岁）．
由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
在的频率为，则第80百分位数为，
由，解得，
所以这些人的平均年龄为（岁），第80百分位数为.
（2）依题意，第四组应抽取人，记为,甲，第五组抽取人，记为,乙，
对应的样本空间{(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共15个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，
则{(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9个样本点，
所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为，方差分别为，
则，由第一组有10人，得第四组有40人，第五组有20人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为，方差为，
则，
因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据欧拉公式直接可得解；
(2)由欧拉公式可证明，并得到，这即得结果；
(3)根据单位根的概念，代入化简即可.
【详解】(1)由欧拉公式有
.
(2)由于，，故，
而当时，有.
故的最大值是.
(3)由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.