2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高二（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.二项式(x2−12x)4的展开式中含x2项的系数为( )
A. −32B. 32C. −12D. 12
2.曲线f(x)=2x2−mlnx在x=1处的切线与直线y=x平行，则m的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516
②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=29；
③E(2X+3)=2E(X)+3；D(2X+3)=2D(X)+3．
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③
4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3：2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为( )
A. C43(23)3(13)B. C32(35)2(23)C. C43(35)3(25)D. C32(35)3⋅25
5.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y ​2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为 ( )
A. 14,0B. 12,0C. (1,0)D. (2,0)
6.某校高三(1)班和(2)班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人.现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三(1)班的概率是( )
A. 940B. 59C. 18D. 14
7.已知x，y∈(0,+∞)，x，y满足x2−y>lny−2lnx，则( )
A. y−2x>0．B. x2−y>0C. 2x−y>0D. y−x2>0
8.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点，则叫做函数f(x)具有“凹凸趋向性”，已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f ′(x)=mx−2lnx,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有( )
A. (−2e,+∞)B. (−2e,0)C. (−∞,−2e)D. (−2e,−1e)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若f(x)=(1−2x)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022+a2023x2023，则下列结论正确的是( )
A. a0=−1
B. |a0|+|a1|+|a2|+…+|a2023|=32023
C. a12+a222+a323+…+a202322023=−1
D. f(8)被16除的余数是15
10.若f(x)=lnx+12x2−bx在定义域上不单调，则实数b的值可能是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
11.某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格.从第0格起跳，记跳到第n(n∈N∗)格的概率为P(n)，则( )
A. P(1)=34B. P(2)=916
C. 数列{P(n+1)+14P(n)}为等差数列D. P(n)=45−120×(−14)n−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一批产品的次品率为0.05，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取20次.X表示抽到的次品的件数，则D(X)= ______．
13.已知数列{an}通项公式an={2n−3,n为奇数2n−1,n为偶数，则数列{an}的前9项和为 ．
14.如果函数y=f(x)在其定义域上有且仅有两个不同的数x0，满足f(x0)x0=f′(x0)−x0，那么就称函数y=f(x)为“单值函数”，则下列四个函数：
①f(x)=x3+2x2；
②f(x)=xex；
③f(x)=xlnx,x>0x+1x,x0．
(1)若m=1，求展开式中系数最大的项；
(2)若展开式中含x2项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=12x2+(1−a)x−alnx(a∈R)．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
17.(本小题15分)
某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒．
(1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
(2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率；
(3)若随机变量X表示取到小狗的盲盒数，求X的分布列，数学期望及方差．
18.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=DC=2，AB=4，现将△ADC所在平面沿对角线AC翻折，使点D翻折至点P，且成直二面角P−AC−B．
(1)证明：平面PBC⊥平面PAC；
(2)若异面直线PC与AB所成角的余弦值为14，求平面BPA与平面PAC所成角的余弦值；
(3)在(2)的条件下，求点C到平面PAB的距离．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−sinx−a.(注：e=2.718281…是自然对数的底数)．
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间(0,π2)内有唯一的极值点x1．
(ⅰ)求实数a的取值范围；
(ⅱ)求证：f(x)在区间(0,π)内有唯一的零点x0，且x0y+lny，再研究f(x)=x+lnx的单调性，即可求解结论．
【解答】
解：∵x，y∈(0,+∞)，x，y满足x2−y>lny−2lnx，
即x2+2lnx>y+lny⇒x2+lnx2>y+lny，
令f(x)=x+lnx，x>0，
则f′(x)=1+1x>0恒成立，
故f(x)是增函数，
∴x2+lnx2>y+lny⇒x2>y⇒x2−y>0．
故选B．
8.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．
问题转化为m=2xlnx在(0,+∞)上有2个不同的实数根，令g(x)=2xlnx，g′(x)=2(1+lnx)，根据函数的单调性求出g(x)的范围，从而求出m的范围即可．
【解答】
解：f′(x)=mx−2lnx=m−2xlnxx(x>0)，
若函数f(x)具有“凹凸趋向性”，
则m=2xlnx在(0,+∞)上有2个不同的实数根，
令g(x)=2xlnx，则g′(x)=2(1+lnx)，
令g′(x)>0，解得x>1e；
令g′(x)0，解得b>2，
故选：CD．
设u(x)=x2−bx+1，由题意可知，u(x)在(0,+∞)上有两个零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数b的不等式组，由此可解得实数b的取值范围，即可得出合适的选项．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，
若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，
记跳到第n(n∈N∗)格的概率为P(n)，
两枚骰子的点数均为奇数的概率P=12×12=14，
故玩家每次往前跳两格的概率为14，往前跳一格的概率为34，
则P(1)=34,P(2)=14+34×34=1316，故A正确，B不正确．
由题可知，P(n+2)=34P(n+1)+14P(n)，
则P(n+2)+14P(n+1)=P(n+1)+14P(n)=P(2)+14P(1)=1，
故数列{P(n+1)+14P(n)}为常数列，也是等差数列，故C正确．
由P(n+1)+14P(n)=1，得P(n+1)−45=−14[P(n)−45]，
因为P(1)−45=−120，所以数列{P(n)−45}是以−120为首项，−14为公比的等比数列，
则P(n)−45=−120×(−14)n−1，则P(n)=45−120×(−14)n−1,D正确．
故选：ACD．
利用古典概型概率计算公式判断A；利用相互独立事件概率乘法公式判断B；利用等差数列判断C；利用等比数列判断D．
本题考查古典概型概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】0.95
【解析】解：由题意可得，X服从二项分布，即X∼B(20,0.05)，
则D(X)=np(1−p)=20×0.05×0.95=0.95．
故答案为：0.95．
根据题意，由条件可得X服从二项分布，结合二项分布的方差公式，代入计算，即可得到结果．
本题考查离散型随机变量的方差，是中档题．
13.【答案】205
【解析】【分析】
本题考查了分组求和方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由an=2n−3,n为奇数2n−1,n为偶数，可得数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，a2n−1=4n−5，a2n=12×4n，利用求和公式即可得出．
【解答】
解：∵an=2n−3,n为奇数2n−1,n为偶数，
∴数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．
则a2n−1=2(2n−1)−3=4n−5，
a2n=22n−1=12×4n．
则数列{an}的前9项和=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8)
=5(−1+20−5)2+2(44−1)4−1=35+170=205．
故答案为205．
14.【答案】③
【解析】解：①因为f(x)=x3+2x2，定义域为R，
所以f(x)x=x2+2x，(x≠0)，而f′(x)=3x2+4x，
所以f′(x)−x=3x2+3x，
当x2+2x=3x2+3x，即2x2=−x，x=−12或x=0(舍)，不满足函数y=f(x)在其定义域上有且仅有两个不同的数x0，使得f(x0)x0=f′(x0)−x0，所以①不正确；
②因为f(x)=xex，定义域为R，所以f(x)x=ex，(x≠0)，而f′(x)=ex(x+1)，
所以ex=ex(x+1)−x，
即xex−x=0，x≠0，则xex−x=0无解，不满足函数y=f(x)在其定义域上有且仅有两个不同的数x0，使得f(x0)x0=f′(x0)−x0，所以②不正确；
③因为f(x)=xlnx,x>0x+1x,x01+1x2,x01−1x2,x0，可得x=1；当1+1x2=1−1x2−x，x0时，f(x)在x∈(0,a)上单调递减，在x∈(a,+∞)上单调递增．
【解析】(1)当a=1时，f(x)=12x2−lnx，
则f′(x)=x−1x=x2−1x=(x−1)(x+1)x，x∈(0,+∞)，
所以当x∈(0,1)时，f′(x)0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x=1时f(x)有极小值为f(1)=12，无极大值．
(2)f′(x)=x+(1−a)−ax=x2+(1−a)x−ax=(x+1)(x−a)x，x∈(0,+∞)，
当a≤0时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，则当x∈(0,a)时，f′(x)0，则f(x)在(a,+∞)上单调递增，
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在x∈(0,a)上单调递减，在x∈(a,+∞)上单调递增．
(1)利用导数来判断函数的单调性即可求出极值；
(2)利用导数，对a进行分类讨论，即可得到单调区间．
本题考查函数的单调性和极值，属于中档题．
17.【答案】27；
37；
【解析】(1)设事件Ai=“第i次取到的是小兔盲盒”，i=1，2，
因为P(A1)=C41C71=47，P(A2|A1)=C31C61=12，
所以P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=47×12=27，
即第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率为27．
(2)设事件Bi=“第i次取到的是小狗盲盒”，i=1，2，
因为P(B1)=C31C71=37，P(B2|B1)=C21C61=13，P(B2|A1)=C31C61=12，
所以由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为：
P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P(A1)P(B2|A1)=37×13+47×12=37；
(3)由题意X可取0，1，2，
所以P(X=0)=47×12=27，
P(X=1)=47×12+37×46=47，
P(X=2)=37×26=17．
所以X的分布列为：
则E(X)=0×27+1×47+2×17=67，
D(X)=(0−67)2×27+(1−67)2×47+(2−67)2×17=2049．
(1)设事件Ai=“第i次取到的是小兔盲盒”，i=1，2，求出P(A1)，P(A2|A1)，再根据条件概率的概率公式计算可得；
(2)设事件Bi=“第i次取到的是小狗盲盒”，i=1，2，求出P(B1)，P(B2|B1)，P(B2|A1)，再根据全概率的概率公式计算可得；
(3)列出随机变量X的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望与方差．
本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、条件概率与全概率公式，考查学生的云算求解能力，属于基础题．
18.【答案】证明见解析； 55； 2 155．
【解析】(1)证明：取AB的中点E，连接CE，
因为AB//DC，AD=DC=2，AB=4，
则AE=DC，AE/​/DC，
故四边形ADCE为平行四边形，
所以CE=AD=2，
则CE=AE=EB，所以∠EAC=∠ECA，∠ECB=∠EBC，
又∠EAC+∠ECA+∠ECB+∠EBC=180°，
故∠ECA+∠ECB=90°，
故∠ACB=90°，即CB⊥CA，
又平面PAC⊥平面ACB，且平面PAC∩平面ACB=AC，CB⊂平面ACB，
故CB⊥平面PAC，又CB⊂平面PBC，
故平面PBC⊥平面PAC；
(2)取AC的中点O，连接OE，则OE//CB，
所以OE⊥AC，且OP⊥AC，则OC，OE，OP两两互相垂直，
故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设OC=a(a>0)，则C(a,0,0)，P(0,0, 4−a2)，A(−a,0,0),B(a,2 4−a2,0)，
故PC=(a,0,− 4−a2),AB=(2a,2 4−a2,0)，
所以|cs〈PC,AB〉|=|PC⋅AB||PC||AB|=2a22×4=a24，
因为异面直线PC与AB所成角的余弦值为14，
所以a24=14，解得a=1(负值已舍去)，
故A(−1,0,0),B(1,2 3,0),C(1,0,0)，P(0,0, 3)，
设平面APB的法向量为m=(r,s,t)，AP=(1,0, 3),AB=(2,2 3,0)，
则AP⊥mAB⊥m，则AP⋅m=r+ 3t=0AB⋅m=2r+2 3s=0，
令t=1，则r=− 3,s=1，可得m=(− 3,1,1)，
由(1)可知平面PAC的一个法向量为n=CB|CB|=(0,1,0)，
cs〈n,m〉=n⋅m|n||m|=1 5= 55，
所以平面BPA与平面PAC的夹角的余弦值 55．
(3)因为AC=(2,0,0)，平面APB的法向量为m=(− 3,1,1)，
所以点C到平面PAB的距离d=|m⋅AC||m|=2 3 5=2 155．
(1)取AB的中点E，连接CE，利用平面几何知识证明CB⊥CA，再利用面面垂直的性质定理证明CB⊥平面PAC，即可得证；
(2)取AC的中点O，连接OE，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设OC=a(a>0)，利用向量求异面直线PC与AB所成角，列方程求出a，进而通过向量法求出平面PAC与平面BPA夹角的余弦值；
(3)根据点C到平面PAB的距离d=|m⋅AC||m|计算可得．
本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2ex−sinx−2，
f′(x)=2ex−csx，
切线的斜率k=f′(0)=2−1=1，又f(0)=0，
∴切线方程为y=x．
(2)(ⅰ)f′(x)=aex−csx，
①当a≥1时，当x∈(0,π2)时，aex>1，csx∈(0,1)，
∴f′(x)>0，
∴y=f(x)在(0,π2)上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当00，
∴f(2x1)=csx1(ex1−2sinx1−1ex1)>0．
∴f(2x1)>f(x0)=0．
由前面讨论知x1