2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市闽侯二中高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=( )
A. 10iB. 11+10iC. 11iD. 10+11i
2.已知向量a=(−1,12)，b=(1,m)，若a⊥b，则|b|=( )
A. 3B. 2C. 5D. 5
3.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点OA=a，OB=b，OC=c，则OD等于( )
A. a−b+c
B. a+b+c
C. a−b−c
D. a+b−c
4.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是( )
A. 2 2
B. 1
C. 2
D. 22
5.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则△ABC的形状是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定的
6.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若m//n，n⊂α，则m//α B. 若m//α，n//m，则n//α
C. 若m//α，n//α，则m//n D. 若m//α，m⊂β，α∩β=n，则m//n
7.如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定C处，测得AB=30米，∠ABC=75°，∠BAC=45°，则该河流的宽度是( )
A. 15+5 3米
B. 10 3+10米
C. 15 3−15米
D. 10 3−10米
8.已知正方形ABCD的边长为4，点P满足AP=λAB(λ>0)，则PC⋅DP的最大值为( )
A. −16B. 0C. 12D. −12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2，z1−为z1的共轭复数，则下列结论中一定成立的是( )
A. z1+z1−为实数B. |z1−|=|z1|
C. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2D. |z2z1−|=|z2z1|
10.已知向量a=(2,1),b=(−3,1)，则以下说法正确的是( )
A. (a+b)//a
B. a与a−b的夹角余弦值为2 55
C. a与b的夹角是锐角
D. 向量a在向量b上的投影向量为(32,−12)
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则( )
A. FG//平面AED1
B. BC1//平面AED1
C. 点C1在平面AED1内
D. 点F在平面AED1内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个棱锥至少有______个面．
13.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为______cm3．
14.已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，△ABC的面积S=a2−(b−c)22，则b+2ca的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(m2+5m−6)+(m−1)i，m∈R．
(Ⅰ)若z是纯虚数，求m的值；
(Ⅱ)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知|a|=2，|b|= 3，向量a与b的夹角为150°．
(1)计算|a+2b|；
(2)若(a+3λb)⊥(a+λb)，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC=a2csA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积为4 3,a=3 3，求△ABC的周长和外接圆的面积．
18.(本小题17分)
如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD=l．
(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；
(2)求证：MN//平面PAD；
(3)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH//平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB=π2，若E是AB上一点，BC=CE，记∠ABC=α，∠ACE=β．
(1)证明：cs2α+sinβ=0；
(2)若AC= 3AE，CD=3，AD=1．
(i)求β的值；
(ii)求BD的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：(2+3i)(4−i)=8−2i+12i+3=11+10i．
故选：B．
利用代数形式的复数乘法计算得解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为a⊥b，所以a⋅b=−1+12m=0，解得m=2，所以|b|= 12+22= 5．
故选：C．
根据垂直向量的数量积的坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案．
本题考查向量垂直的坐标运算，向量的模，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵CD=BA=a−b，
∴OD=OC+CD=a−b+c．
故选：A．
根据平面向量的线性运算可得结果．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，
∴直角三角形的直角边长是 2，
∴直角三角形的面积是12× 2× 2=1，
∴原平面图形的面积是1×2 2=2 2，
故选：A．
根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2 2倍，得到结果．
本题考查平面图形的直观图，考查直观图与平面图形的面积之间的关系，考查直角三角形的面积，是一个基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵sinA：sinB：sinC=3：4：6，
由正弦定理得a：b：c=3：4：6，
令a=3t，b=4t，c=6t，t>0，
则csC=a2+b2−c22ab=9t2+16t2−36t22×3t×4t=−11240)，
可得AP=λ(4,0)，故P(4λ,0)，
又C(4,4)，D(0,4)，
则PC⋅DP=(4−4λ,4)⋅(4λ,−4)=−16λ2+16λ−16=−16(λ−12)2−12，
故当λ=12时，PC⋅DP取得最大值为−12．
故选：D．
建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标，结合二次函数配方法即可求得结论．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于AB，设z1=a+bi(a,b∈R)，
则z1−=a−bi，
z1+z1−=a+bi+a−bi=2a∈R，故A正确；
|z1−|=|z1|= a2+b2，故B正确；
对于C，令z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z1≠±z2，故C错误；
对于D，|z2z1−|=|z2||z1−|=|z2||z1|=|z2z1|，故D正确．
故选：ABD．
根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数模公式，以及共轭复数的定义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：a=(2,1),b=(−3,1)，
则a+b=(−1,2)，
不存在实数λ，使得a+b=λa，故A错误；
a−b=(5,0)，a=(2,0)，
故cs=(a−b)⋅a|a−b| |a|=105× 5=2 55，故B正确；
a=(2,1),b=(−3,1)，
则a⋅b=−6+1=−5