2025银川市北塔中学中考数学一模试卷 （含答案解析）

这是一份2025银川市北塔中学中考数学一模试卷 （含答案解析），共47页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2025 年宁夏银川市北塔中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是 ( )
A.
C.
B.
D.
【答案】D 【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案. 【详解】解： 由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：
故选 D .
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示.
2. 下列运算中，正确的是 ( )
A. m2 .m3 = m6 B. (-m)6 ÷ (-m)3 = -m3 C. (mn2 )3 = mn6 D. (-3m3 )2 = 6a6
【答案】B 【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法则及积的乘方、幂的乘方法则直接求解即可得到答案；
【详解】解： 由题意可得， m2 .m3 = m5 ，故 A 错误；
(-m)6 ÷ (-m)3 = -m3 ，故 B 正确；
(mn2 )3 = m3n6 ，故 C 错误；
2
( )
-3m3 = 9m6 ，故 D 错误； 故选：B .
【点睛】本题考查同底数幂乘除法则及积的乘方、幂的乘方法则，解题的关键是熟练掌握 am . an = am+n ， am ÷ an = am-n ， (ab)m = ambm ， (am )n = a mn .
3. 如图，正方形 ABCD 的面积为 7，顶点 A 在数轴上表示的数为 1，若点 E 在数轴上（点 E 在点 A 的左侧）， 且 AD = AE ，则点 E 所表示的数为 ( ) .
A. 7 B. 1 - ·7 C. - 7 D. ·7 + 1
【答案】B
【解析】
【分析】 本题考查了实数与数轴 ，算术平方根 ，根据正方形的面积求出正方形的边长为 ·7 ，得到 AE = AD = 即可得到点 E 表示的数为 1 - - ．根据正方形的面积求出正方形的边长为 是解题的
关键.
【详解】解： 由条件可知正方形的边长为 ·7 ，
: AE = AD = 7 ，
: 点E 表示的数为 1 - 7 . 故选：B .
4. 如图，直角三角板的直角顶点A 在直线m 上，且直线 m Ⅱ n ，若 上1 = 25 ，则 上2的度数是 ( )
A. 35。 B. 45。 C. 55。 · D. 65。
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由 上1 = 25。可得 上3 = 65。，进而由平行线的性质 得 上4 = 上3 = 65。，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解： ∵ 上BAC = 90。， 上1 = 25。， ∴ 上3 = 90。一上1 = 90。一 25。= 65。，
∵ m Ⅱ n ，
∴ 上4 = 上3 = 65。， ∵ 上C = 60。，
∴ 上2 = 180。一上4 一上C = 180。一65。一60。= 55。， 故选： C ．
5. “某学校改造过程中整修门口 3000m的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？ ”
在这个题目中，若设实际每天整修道路 xm ，可得方程 一 = 20 ，则题目中用“…… ”表示的条
件应是（ ）
A. 每天比原计划多修10m ，结果延期 20 天完成 B. 每天比原计划多修10m ，结果提前 20 天完成 C. 每天比原计划少修10m ，结果延期 20 天完成 D. 每天比原计划少修10m ，结果提前 20 天完成 【答案】B
【解析】
【分析】 由x 代表的含义找出(x 一10) 代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【详解】解：设实际每天整修道路 xm ，则(x 一10)m 表示：实际施工时，每天比原计划多修10m ，
: 方程 一 = 20 ，其中表示原计划施工所需时间， 表示实际施工所需时间，
: 原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前 20 天完成. · 故选：B .
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键.
6. 如图， 四边形 ABCD 内接于 ΘO ，AD = BD ，上A = 50。，上ADC = 100。，则 上BOC 的度数是( )
A. 20。 B. 30。 C. 40。 D. 50。
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形的性质和三角 形内角和定理求得 上ADB = 80。，再求得 上BDC = 20。，利用圆周角定理求解即可.
【详解】解： ∵ AD = BD ， 上A = 50。， ∴ 上ABD = 上A = 50。，
∴ 上ADB = 180。一 上A 一 上ABD = 80。， ∵ 上ADC = 100。，
∴ 上BDC = 100。一 80。= 20。， ∴ 上BOC = 2上BDC = 40。， 故选：C .
7. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形， 记其中一个直角三角形的一条直角边长为 xcm ，另一条直角边的长为ycm ，图②中的较小正方形面积为 Scm2 ．当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是 ()
A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意和图形，可以分别写出y 与 x 的关系和 S 与 x 的关系，从而可以得到y 与 x 满足的函数关 系和 S 与 x 满足的函数关系.
【详解】解： ∵ x + y = 6 ，
则 y = 6 一 x, y 与x 满足一次函数关系，
∵ S = x2 + y2 = x2 + (6 一 x )2 = 2x2 一12x + 36 ，
则 S 与x 满足二次函数关系， 故选：C .
【点睛】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题 意，写出相应的函数关系式.
8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2 ，其面积标记为 S1 ，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三 角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2 ， ⅆ , 按照此规律继续下去，则 S9 的值为 ( )
A. （ ）6 B. （ ）7 C. （ ）6 D. （ ）7
【答案】A 【解析】
【详解】解：如图所示.
∵正方形 ABCD 的边长为 2 ，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE2+CE2=CD2 ，DE=CE，
∴S2+S2=S1 ．观察发现规律：S1=22=4 ，S2= S1=2 ，S3= S2= 1 ，S4= …，
由此可得 .
当 n=9 时， S9 = 9-3 =
故选：A .
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.
9. 因式分解 2x2 -12x +18 的结果是 .
【答案】 2(x - 3)2 【解析】
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和完全平方公式是解决本题的关键．先 提公因式 2 ，再套用完全平方公式即可.
【详解】解：原式 = 2(x2 - 6x + 9)
= 2(x - 3)2 .
故答案为： 2(x - 3)2 .
10. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统 的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供 有力支持．目前，该芯片工艺已达 22 纳米（即 0.000000022 米）．则数据 0.000000022 用科学记数法表示 为 .
【答案】 2.2 × 10-8 【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中
1 ≤
a
< 10 ， n 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
【详解】解： 0.000000022 = 2.2 × 10一8 ， 故答案为： 2.2 × 10一8 .
11. 若x1，x2 是方程x2 一 2x 一1 = 0的两个根，则 x1 + x1x2 + x2 = .
【答案】1 【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关 系并准确运用.
先根据—元二次方程根与系数的关系得出 x1 + x2 和 x1x2 的值，再代入 x1 + x1x2 + x2 计算.
【详解】对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ，若方程的两根为x1 和 x2 ，则 x1 + x2 = 一 ，x1x2 = .
在方程 x 2 一 2 x 一 1 = 0 中， a = 1，b = 一2，c = 一1 ，
将 x1 + x2 = 2，x1x2 = 一1 代入 x1 + x1x2 + x2 可得： x1 + x1x2 + x2 = (x1 + x2 ) + x1x2 = 2 + (一1) = 1 . 故答案为：1
12. 已知点(一1，2a 一 3) 位于第三象限，则 a 的取值范围是 .
【答案】 a < 1.5 【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答. 【详解】解： ∵点(一1，2a 一 3) 位于第三象限，
∴ 2a 一 3< 0 ∴ a < 1.5
故答案为： a < 1.5
13. 如图，正五边形 ABCDE 的边长为 2 ，分别以点 C、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点 F，连接
CF ，则 上BCF 的度数为 .
【答案】 48O ##48 度 【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质，正多边形和圆，正确作辅助线是解决本题的关键.
连接 CF ， DF ，则由题意可知V CDF 为等边三角形，再根据五边形 ABCDE 为正五边形，则可计算出 上BCD ，进而可计算出上BCF 的度数.
【详解】解：如图，连接 CF ， DF ，
由题意 CD = CF = DF ， :△CDF 是等边三角形， :上FCD = 60O ，
: 五边形 ABCDE 是正五边形， 其内角和为： 3 × 180O = 540O ， ∴ 上BCD = 540O ÷5 = 108O ，
: 上BCF = 上BCD — 上FCD = 108O — 60O = 48O ， 故答案为： 48O .
14. 如图，用一个半径为 30cm ，面积为 300πcm2 的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的
底面半径 r 为 .
【答案】10cm
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的
母线长和扇形面积公式得到 •2π•r•30=300 π , 然后解方程即可. 【详解】解：根据题意得 •2π•r•30=300π ,
解得 r=10（cm）. 故答案为 10cm .
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇 形的半径等于圆锥的母线长.
15. 数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬 28 ，求北纬 28 纬线的长度．小组成员查阅资料，得到 如下信息：
信息一：如图① , 在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图② , 某地球仪赤道半径 OA约为 50cm ，弦 BC Ⅱ OA ，以 BC 为直径的圆的周长就是北纬 28 纬线的长度.
根据以上信息，该地球仪北纬 28 纬线的长度约为 cm ．（参考数据： 兀 ≈ 3 ， sin28 ≈ 0.47 ， cs28 ≈ 0.88 ， tan28 ≈ 0.53）
【答案】264 【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的含义与解直角三角形 的方法.
作 OK 丄 BC 于 D ，根据平行线的性质可知 上B = 上AOB = 28 ，在 Rt△BOK 中，利用锐角三角函数求出 BK ，然后根据周长公式求出周长即可.
【详解】解：作 OK 丄 BC ，则 上BKO = 90，
:BC Ⅱ OA ， 上AOB = 28O ， :上B = 上AOB = 28O，
在 Rt△BOK 中， OB = OA = 50cm ，
:BK = OB×csB ≈ 50× 0.88 = 44(cm) ，
: 北纬 28O 的纬线长度 = 2兀 . BK
≈ 2 × 3 × 44
= 264(cm)，
故答案为： 264.
16. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BE 丄 AC ，垂足为点 F，连接DF ，分析下列四个结论，
① △AEF ∽△CAB ；② CF = 2AF ；③ FD = DC ；④ DC : AD = 2 : 其中正确的结论有 .
【答案】①② 【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解 题的关键.
①正确．只要证明上EAC = 上ACB ， 上ABC = 上AFE = 90O 即可；
②正确．由 ADⅡBC ，推出△AEF ∽△CBF ，推出 ，由 AE = 推出
即 CF = 2AF ；
③错误．只要证明DM 垂直平分 CF ，即可证明原结论是错误的；
④错误．设 AE = a ， AB = b ，则 AD = 2a ，由 △BAE ∽△ADC ，有 即 可得
【详解】解：①过 D 作DM Ⅱ BE 交 AC 于 N，如图所示：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ADⅡBC ， 上ABC = 90O ， AD = BC ，
∴ 上EAC = 上ACB ， ∵ BE 丄 AC 于点 F，
∴ 上ABC = 上AFE = 90O，
∴ △AEF ∽△CAB ，故①正确；
②∵ADⅡBC ，
∴ △AEF ∽△CBF ，
,
∵ AE = ，
∴ CF = 2AF ，故②正确；
③∵DE∥BM ， BE Ⅱ DM ，
∴四边形 BMDE 是平行四边形 ，
∴ BM = CM ， ∴ CN = NF ，
∵ BE 丄 AC 于点 F， BE Ⅱ DM ， ∴ DN 丄 CF ，
∴ DM 垂直平分 CF ， ∴ DF = DC ，
而无法证明 FC ≠ DC ，故③错误； 设 AE = a ， AB = b ，则 AD = 2a ，
∵ 上BAE=上ADC = 90O ， 上ABE = 90O — 上BAC = 上DAC ，
∴ △BAE ∽△ADC ，
即b = a ，
2 ≠ 2 : 2 ，故④错误；
综上所述，正确结论①② , 故答案为：①②.
三、解答题：本题共 10 小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（2） [(x — y)2 — x (3x — 2y) + (x + y)(x — y ) ÷ 2x . 【答案】（1） 10 — 6
（2） — x
【解析】
【分析】（1）先计算绝对值、二次根式化简和负整数指数幂，三角函数值，再计算加减即可； （2）先计算括号内的乘方，再计算除法即可得出答案；
本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键.
【小问 1 详解】
解： —1 — —2 — 4cs30
= 1— 4 + 9 — 4×
= 1— 43 + 9 — 2 3
= 10 — 63 ； 【小问2 详解】
[(x — y)2 — x (3x — 2y) + (x + y)(x — y ) ÷ 2x
= (x2 — 2xy + y2 — 3x2 + 2xy + x2 — y2 ) ÷ 2x
= (—x2 ) ÷ 2x
18. 先化简，再求值 ，其中 a = 2 . 1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把 a = 2 代入计算即可.
解：原式 =
, a —1
当 a = 2 时，原式 =
19. 如图，在 □ABCD 中，点 F 在边 AD 上，AB = AF ，连接 BF ，O 为BF 的中点，AO 的延长线交边 BC 于点 E，连接 EF ．求证：四边形 ABEF 是菱形.
【答案】证明见解析. 【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识， 由四边形 ABCD 是平行四边形，得到 上AFO = 上EBO ，再证明 △AOF≌△EOB ，得到 OA = OE ，证明四边形 ABEF 是平行四边形，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键.
【详解】证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ADⅡBC ，
∴ 上AFO = 上EBO ， ∵O 是 BF 的中点，
∴ OB = OF ，
在 △AOF 和 △EOB 中，
{ OF = OB ，
〔上AFO = 上EBO
l 上AOF = 上BOE
∴ △AOF≌△EOB(ASA)， ∴ OA = OE ，
∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵ AB = AF ，
∴四边形 ABEF 是菱形.
20. 某班学生计划在社区内开展图书义卖活动，并将所得善款捐给希望工程，拟购进A 、B 两种畅销书，经 调查，购进 4本A 种图书所需费用与购进 5本B 种图书所需费用相同，若购进100本A 种图书与 200 本B 种 图书共需费用 6500 元.
（1）求A 、B 两种图书的进价分别是多少元？
（2）若义卖活动中，A 种图书的定价为30元/本， B 种图书的定价为 28 元/本，本班研究决定需要采购两 种图书共 500本．若获得利润不低于 2800 元，请问本班至少需要采购 B 种图书多少本？
【答案】（1） A 种图书的进价是 25 元， B 种图书的进价是 20 元
（2） 100本
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，解题的关键是正确找出数量关系.
（1）设A 种图书的进价是x 元， B 种图书的进价是y 元，根据题意列方程即可求解；
（2）设本班需要采购B 种图书m 本，则采购A 种图书(500 — m) 本，根据“获得利润不低于 2800 元 ”，列
不等式即可求解. 【小问 1 详解】
解：设A 种图书的进价是x 元， B 种图书的进价是y 元，
根据题意得00y = 6500 ， 解得：
答： A 种图书的进价是 25 元， B 种图书的进价是 20 元； 【小问2 详解】
设本班需要采购B 种图书m 本，则采购A 种图书(500 — m) 本， 根据题意得： (30 — 25)(500 — m) + (28 — 20)m ≥ 2800 ，
解得： m ≥ 100 ，
答：本班至少需要采购B 种图书100本.
21. 某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周 ”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅 读时间并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计图（如图）的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为______人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是______小时；
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为 5小时的扇形的圆心角度数是______；
（3）若学校需要从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，请用画树状图法或列表法，求恰好是一 男一女的概率.
【答案】（1） 50 ； 4 ；
（2） 图见解析； 144 ；
（3） .
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计 图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解题的关键.
（ 1）用阅读时间为 3小数的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出阅读时间为 6 小时的男 生人数，然后根据中位数的定义求解；
（ 2 ）先利用阅读时间为 6 小时的男生人数补全条形统计图，然后用 360 乘以阅读时间为 5小时的人数所 占的百分比得到课外阅读时间为 5小时的扇形的圆心角度数；
（ 3 ）用列表法展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解. 【小问 1 详解】
解：本次调查的学生总数为(6 + 4) ÷ 20% = 50 （人），
将被调查的 50名学生的课外阅读时间按照从小到大的顺序排列，排在第 25 和 26 名的时间为 4 小时， 4 小 时，
∴被调查学生的课外阅读时间的中位数是(4 + 4) ÷ 2 = 4 （小时）， 故答案为： 50 ； 4 ；
【小问2 详解】
解：男生课外阅读时间为 6 小时的人数为 50 — 6 — 4 —8 —8 —8 —12 —3 = 1（人）， 补全条形统计图如图所示，
在扇形统计图中，课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度数是360 × = 144 ，
故答案为： 144 ； 【小问 3 详解】
解：列表如下：
男
男
女
女
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
男
（男，男）
（男，女）
（男，女）
共有 12种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有 8 种，
∴恰好是一男一女的概率为 .
22. 如图， V ABC 的边 BC 在 y 轴上， 上ABC = 90O ， BC = 3 ， AB = 6 ，边 AB 和 AC 与反比例函数
的图象分别交于点 E、F，若点 B 坐标为(0，4) ，且 BE = OC .
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 F 的坐标；
（3）求 tan 上CBF 的值.
（2） F (2, 2) ；
（3）1 .
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解决问题的关键是构造直角三角形.
（1）根据题意得出点 C 、 E 的坐标，求出 k 的值，即可得解；
（2）过点 F 作FD 丄 y 轴于点D ，得出点A 的坐标，进而的直线 AC 的解析式，即可得出点 F 的坐标；
（3） 由 F(2，2) ， B (0，4) ，可得DF = 2，OB = 4 ， OD = 2 ， BD = 2 ， tan上CBF 即可得解.
【小问 1 详解】
解： 由题意得， : BC = 3 ， B (0，4)，
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
女
（女，男）
（女，男）
（女，女）
: OC = 1 ， C (0，1)，
:BE = OC ， 上ABC = 90。，
:E(1, 4)，
: k = 1 × 4 = 4
:反比例函数的解析式为
【小问2 详解】
解：如图所示，过点 F 作FD 丄 y 轴于点D ，
,
: AB = 6 ， 上ABC = 90。， B (0，4)，
:A(6，4) ，
设直线 AC 的解析式为 y = mx + n ，
将 A(6，4) ， C (0，1) 分别代入 y = mx + n 得，
:直线 AC 的解析式为， 令 x +1 =
: x = 2 或x = —4 （不符合题意，舍去）， ∴ F(2，2) ；
【小问 3 详解】 解： 由题意得，
: F (2，2) ， B (0，4)，
∴DF = 2，OB = 4 ， OD = 2 ， :BD = OB —OD = 2 ，
23. 如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连接 PB 、AB ， ∠PBA=∠C，
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）连接 OP ，若 OP∥BC，且 OP=8 ， ⊙O 的半径为 2 · , 求 BC 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2. 【解析】
【分析】（1）连接 OB，由圆周角定理得出∠ABC=90° , 得出∠C+∠BAC=90° , 再由 OA=OB，得出∠BAC=∠OBA， 证出∠PBA+∠OBA=90° , 即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO ，得出对应边成比例，即可求出 BC 的长. 【详解】（1）证明：连接 OB ，如图所示：
∵AC 是⊙O 的直径， ∴ ∠ABC=90° ,
∴ ∠C+∠BAC=90° , ∵OA=OB，
∴ ∠BAC=∠OBA，
∵ ∠PBA=∠C，
∴ ∠PBA+∠OBA=90° , 即 PB⊥OB，
∴PB 是⊙O 的切线；
（2）解： ∵⊙O 的半径为 2 2 ，
∴OB=2 · , AC=4 · ,
∵OP∥BC，
∴ ∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90° , ∴△ABC∽△PBO，
∴ 即
∴BC=2 .
考点：切线的判定
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c 与x 轴交于 A(—2, 0), B (4, 0) 两点，与y 轴的负 半轴交于点 C ，且 OC = 8 ，点P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）连接 PO, PC ，并将 △POC 沿y 轴对折，得到四边形 POP C ，是否存在点P ，使四边形 POP C 为菱 形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在点P 运动过程中，当四边形 ABPC 的面积最大时，求出此时点P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面 积.
【答案】（1）该抛物线的函数表达式为 y = x2 — 2x — 8
（2）存在这样的点P ，此时点P 的坐标为(1+ ·i5, —4)
（3）当点P 运动到(2, —8) 时，四边形 ABPC 的面积最大，四边形 ABPC 的最大面积为 32
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）根据题意可知点 C 坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（2）连接 PP 交 CO于点D ，结合菱形的性质可得 PC = PO ，且 PD 丄 CO ，进一步求得点P 的纵坐标 为 —4 ，代入函数解析式有 x2 — 2x —8= —4 ，即可求得点P 的坐标；
（3）连接 PO ，作PM 丄 x 轴于点M ，PN 丄 y 轴于点 N ，设点P 的坐标为(m, m2 — 2m — 8)．则 AO = 2 ，
OB = 4 ， PM = —m2 + 2m + 8 ， PN = m ， 结 合
S四边形ABPC = S△AOC + S△POB + S△POC = AO . OC + OB . PM + OC . PN ，化解后利用二次函数的性质
求得最大值即可. 【小问 1 详解】
解： : 抛物线 y = ax2 + bx + c 与y 轴的负半轴交于点 C ，且 OC = 8 ， :C(0, —8) .
把 A(—2, 0) ， B (4, 0) ， C (0, —8)代入 y = ax2 + bx + c 中，
得 解得
: 该抛物线的函数表达式为 y = x2 — 2x — 8 . 【小问2 详解】
解：假设抛物线上存在点P ，使四边形POP C 为菱形，连接PP 交 CO于点D ．如图，
: 四边形POP C 为菱形， OC = 8 ， :PC = PO ，且 PD 丄 CO ，
: OD = DC = 4 ，即点P 的纵坐标为 —4 .
由 x2 — 2x — 8 = —4 ，得 x1 = 1 + ， x2 = 1 — 不合题意，舍去）， 故存在这样的点P ，此时点P 的坐标为 .
【小问 3 详解】
解：连接 PO ，作 PM 丄 x 轴于点M ， PN 丄 y 轴于点，如图，
设点P 的坐标为(m, m2 — 2m — 8) . :A(—2, 0) ， B (4, 0) ， OC = 8 ，
: AO = 2 ， OB = 4 ， PM = —m2 + 2m + 8 ， PN = m ，
:S四边形ABPC = S△AOC + S△POB + S△POC = AO . OC + OB . PM + OC . PN
= × 2 × 8 + × 4 (—m2 + 2m + 8)+ × 8m = —2m2 + 8m + 24 = —2(m — 2)2 + 32 ，
: 当 m = 2 时， m2 — 2m — 8 = —8 ， 此时点P 的坐标为(2, —8) ，
即当点P 运动到(2, —8) 时，四边形 ABPC 的面积最大，四边形 ABPC 的最大面积为 32 .
25. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度 的平方，则称这个点为三角形该边的“平方点 ”，如图 1 ，V ABC 中，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE ， 若 AE2 = BE . CE ，则称点 E 是V ABC 中 BC 边上的“平方点 ”.
（1）如图 2 ，已知在四边形 ABCD中，BD平分 AC 于点 E ，上CAD = 上CBD ，求证：点 E 是△ABD 中
BD 边上的“平方点 ”；
（2）如图 3 ，V ABC 是 O 的内接三角形，点 E 是V ABC 中 BC 边上的“平方点 ”，延长 AE 交 O 于 点 D ，若 上BAE = 上CAE ，求证： DE = AE ；
（3）如图 4 ，在 Rt△ABC 中，上A = 90 ，AB = 4-5 ，BC = 10 ，过点 D 作 AD 丄BC 于点 D ，点 E 是
BC 边上的“平方点 ”，求线段 BE 的长. 【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）5 或 8
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，一元二次方程的解 法，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.
（1）先证 △AED∽△BEC ，得 AE . CE = ED . BE，再由 BD平分 AC ，得 AE = CE ，即可得答案；
（2 ） 由 点 E 是 V ABC 中 BC 边 上 的 “ 平 方 点 ”得 AE2 = EC . BE ， 再证 △AEC∽△BED ， 得 AE . DE = EC . BE ，可得 AE . DE = AE2 ，即可得答案；
（3）先求出 AC, AD, BD 的长，设 BE = x ，得 (8 — x )2 +16 = x (10 — x ) ，解答即可.
【小问 1 详解】
证明： 」上CAD = 上CBD ， 上AED = 上BED ，
:△AED∽△BEC ，
,
: AE . CE = ED . BE， Q BD 平分 AC ，
: AE = CE ，
: AE2 = ED . BE，
: 点 E 是△ABD 中 BD 边上的“平方点 ”； 【小问2 详解】
证明： 」点 E 是V ABC 中BC 边上的“平方点 ”，
: AE2 = EC . BE，
」△ABC 是 O 的内接三角形，
: 上D = 上C ， 上AEC = 上BED ，
:△AEC∽△BED，
,
: AE . DE = EC . BE，
: AE . DE = AE2 ，
: AE = DE ；
【小问 3 详解】
解：」上BAC = 90。， AB = 45 ， BC = 10 ，
设 BE = x ，由题意得： AE2 = BE . EC ， AE2 = AD2 + DE2 ，
(8 — x)2 +16 = x (10 — x) ， 解得： x1 = 5 ， x2 = 8 ，
:BE 的长为 5 或 8 .