陕西省西安市碑林区铁一中学2024-2025学年下学期七年级第二次月考 数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市碑林区铁一中学2024-2025学年下学期七年级第二次月考 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了下列选项中是随机事件的是，如图是一个可以自由转动的转盘等内容，欢迎下载使用。
1．已知甲型流感病毒直径约为0.000000081米，把0.000000081用科学记数法表示为（ ）
A．8.1×10﹣7B．8.1×10﹣8C．8.1×10﹣9D．﹣8.1×10﹣9
2．下列图案中，不属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列选项中是随机事件的是（ ）
A．水从高处往低处流动
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．煮熟的种子发芽
D．星期天下雨
4．如图所示，将直尺与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．30°
5．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
6．如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A．1B．23C．12D．13
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
8．如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BF＝CEB．∠A＝∠DC．AC∥DFD．AC＝DF
9．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
10．如图，点B是线段CG上一点，以BC，BG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝20，则阴影部分△BCE的面积为（ ）
A．4B．5C．8D．10
二.填空题
11．2﹣4＝ ．
12．如图，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2＝ ．
13．已知a、b为等腰△ABC的边长，且满足|a﹣5|+（b﹣11）2＝0，则△ABC的周长是 ．
14．如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝ 度．
15．已知△ABC中，AD为BC边上的高，若AD＝4，BD＝9，CD＝5，则△ABC的面积为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，BA＝BC，对角线BD是∠ADC的平分线，若∠ADC＝60°，DC＝3，∠ABD＝3∠CBD，则AD＝ ．
三.解答题
17．计算：
（1）（2a2b）2+ab2•3a3﹣a5b3÷（﹣ab）；
（2）（﹣1）2024+（﹣3）+（π+5）0﹣（−12）；
（3）38.92﹣2×48.9×38.9+48.92；
（4）20252﹣2027×2023．
18．先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）]÷（﹣4a），其中a=−12，b＝2．
19．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
20．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．
（1）通道的面积是多少平方米？
（2）剩余草坪的面积是多少平方米？
21．一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样．
（1）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为15，则n＝ ．
（2）在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明）
22．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，猜想BE与CD的关系，并证明．
23．【问题发现】
（1）如图①，在△PAB中，过点P作MN⊥AB，垂足为点C，且AC＝BC．若PB＝6，则PA的值为 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC＝25，连接AD、AE，求△ADE的周长；
【拓展应用】
（3）如图③，△ABC是一个游乐场的平面示意图，A为游乐场大门，其中AB＝AC＝400米，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D．现分别在BD、BC上各取一点P、Q，且满足BP＝CQ，计划沿AP、AQ修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值．
2024-2025学年陕西省西安市碑林区铁一中学七年级（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一.选择题
1．已知甲型流感病毒直径约为0.000000081米，把0.000000081用科学记数法表示为（ ）
A．8.1×10﹣7B．8.1×10﹣8C．8.1×10﹣9D．﹣8.1×10﹣9
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：0.000000081＝8.1×10﹣8．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
2．下列图案中，不属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．下列选项中是随机事件的是（ ）
A．水从高处往低处流动
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．煮熟的种子发芽
D．星期天下雨
【分析】根据随机事件的定义是解题的关键．
【解答】解：A、水从高处往低处流动，是必然事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，不符合题意；
C、煮熟的种子发芽，是不可能事件，不符合题意；
D、星期天下雨，是随机事件，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
4．如图所示，将直尺与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．30°
【分析】根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2．
【解答】解：如图，∵∠1＝70°，
∴∠3＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
由直尺可知：AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，与题中条件对照，求出m，n的值，代入多项式求值即可．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣1）
＝x2﹣x+2x﹣2
＝x2+x﹣2
＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴m+n＝1﹣2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，根据多项式乘多项式展开化简，与题中条件对照，求出m，n的值是解题的关键．
6．如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A．1B．23C．12D．13
【分析】用红色区域的圆心角除以周角度数即可．
【解答】解：转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是120°360°=13，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理得到DC＝DE＝4cm，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4cm，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6（cm），
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BF＝CEB．∠A＝∠DC．AC∥DFD．AC＝DF
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠E，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
A．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．AC＝DF，AB＝DE，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
9．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．如图，点B是线段CG上一点，以BC，BG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝20，则阴影部分△BCE的面积为（ ）
A．4B．5C．8D．10
【分析】由完全平方公式，求出BC与BE的积，即可求解．
【解答】解：设BC＝a，BE＝b，
∵四边形BEFG是正方形，
∴BE＝BG＝b，
∵两正方形的面积和S1+S2＝20，
∴a2+b2＝20，
∵a+b＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，
∴ab＝8，
∴S阴=12ab＝4，
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式，关键是应用此公式求出BC与BE的乘积．
二.填空题
11．2﹣4＝ 116 ．
【分析】根据负整数指数幂的意义计算．
【解答】解：原式=124
=116．
故答案为：116．
【点评】本题考查了负整数指数幂：a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）．
12．如图，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2＝ 90° ．
【分析】如图，利用网格的特点证明△BAC≌△EAD，推出∠ABC＝∠1，可得∠1+∠2＝90°．
【解答】解：如图，
由题意知，在△BAC和△EAD中，
AC=AD∠BAC=∠EADAB=AE，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠ABC＝∠1，
∵∠ABC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
13．已知a、b为等腰△ABC的边长，且满足|a﹣5|+（b﹣11）2＝0，则△ABC的周长是 27 ．
【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：∵|a﹣5|+（b﹣11）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣11＝0，
解得：a＝5，b＝11，
又∵a，b是等腰△ABC的两边长，
∴当b是腰，a是底时，△ABC三边长分别为：11，11，5，
∴该等腰三角形的周长为：11+11+5＝27，
当a是腰，b是底时，△ABC三边长分别为：5，5，11，
∵5+5＝10＜11，
∴不满足三角形三边关系，应舍去．
故答案为：27．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
14．如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝ 54 度．
【分析】设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出∠BGO的度数．
【解答】解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，
设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，
由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，
即10x＝180°，
解得x＝18°，
∵AD∥BC，
∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查了折叠的性质和平角的等于180°，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等．
15．已知△ABC中，AD为BC边上的高，若AD＝4，BD＝9，CD＝5，则△ABC的面积为 28或8 ．
【分析】分当AD在三角形ABC内部时，当AD在三角形ABC外部时，两种情况求解．
【解答】解：如图，当AD在三角形ABC内部时，
则BC＝BD+CD＝9+5＝14，
△ABC的面积=12BC⋅AD=12×14×4=28；
当AD在三角形ABC外部时，
BC'＝BD﹣C'D＝9﹣5＝4，
则△ABC的面积=12BC′⋅AD=12×4×4=8，
故答案为：28或8．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，注意分类讨论是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，BA＝BC，对角线BD是∠ADC的平分线，若∠ADC＝60°，DC＝3，∠ABD＝3∠CBD，则AD＝ 6 ．
【分析】延长DC至E，使DE＝AD，连接BE，证明△ADB≌△EDB（SAS），得∠ABD＝∠EBD，∠A＝∠E，AB＝EB，设∠BCE＝∠E＝∠A＝β，设∠CBD＝α，根据三角形内角和定理，四边形内角和定理得α＝30°，β＝60°，证明△BCE是等边三角形，得CE＝BC＝DC＝3，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，延长DC至E，使DE＝AD，连接BE，
∵BD是∠ADC的平分线，
∴∠ADB＝∠EDB=12∠ADC＝30°，
在△ADB和△EDB中，
AD=ED∠ADB=∠EDBDB=DB，
∴△ADB≌△EDB（SAS），
∴∠ABD＝∠EBD，∠A＝∠E，AB＝EB，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠BCE＝∠E＝∠A，
设∠BCE＝∠E＝∠A＝β，
∵∠ABD＝3∠CBD，
设∠CBD＝α，
∴∠ABD＝3∠CBD＝3α，
∴∠ABD＝∠EBD＝3α，
∴∠EBC＝2α，
∵∠E+∠BCE+∠EBC＝180°，
∴β+β+2α＝180°，
∴β+α＝90°，
∵∠ADC＝60°，
在四边形DABE中，∠E+∠ABE+∠A+∠EDA＝360°，
∴β+6α+β+60°＝360°，
∴β+3α＝150°，
∴α＝30°，β＝60°，
∴∠ABD＝3α＝90°，
∴A，B，E在一条直线上
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴BC＝DC＝3，
∵∠BCE＝∠E＝β＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BC＝DC＝3，
∴AD＝DE＝DC+CE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四边形内角和定理，解决本题的关键是证明△ADB≌△EDB．
三.解答题
17．计算：
（1）（2a2b）2+ab2•3a3﹣a5b3÷（﹣ab）；
（2）（﹣1）2024+（﹣3）+（π+5）0﹣（−12）；
（3）38.92﹣2×48.9×38.9+48.92；
（4）20252﹣2027×2023．
【分析】（1）根据乘方和同底数幂的乘除法进行计算；
（2）根据实数运算法则进行计算即可；
（3）运用平方差公式进行计算；
（4）运用平方差公式进行计算．
【解答】解：（1）（2a2b）2+ab2•3a3﹣a5b3÷（﹣ab）
＝4a4b2+3a4b2+a4b2
＝8a4b2；
（2）（﹣1）2024+（﹣3）+（π+5）0﹣（−12）
＝1﹣3+1+0.5
＝﹣0.5；
（3）38.92﹣2×48.9×38.9+48.92
＝（38.9﹣48.9）2
＝100；
（4）20252﹣2027×2023
＝20252﹣20252+4
＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
18．先化简，再求值：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）]÷（﹣4a），其中a=−12，b＝2．
【分析】先算括号内的，再算除法，化简后将a，b的值代入计算即可．
【解答】解：[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）]÷（﹣4a）
＝（4a2﹣4ab+b2﹣b2+4a2）÷（﹣4a）
＝（8a2﹣4ab）÷（﹣4a）
＝﹣2a+b，
当a=−12，b＝2时，
原式＝﹣2×（−12）+2
＝1+2
＝3．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算法则．
19．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
【解答】解：如图，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
20．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．
（1）通道的面积是多少平方米？
（2）剩余草坪的面积是多少平方米？
【分析】（1）根据通道的面积＝两个长方形面积﹣中间重叠部分的正方形的面积计算即可．
（2）根据剩余草坪的面积＝大长方形面积﹣通道的面积计算即可．
【解答】解：（1）b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2
＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2
＝6ab+5b2（平方米）．
答：通道的面积是（6ab+5b2）平方米．
（2）（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）
＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣6ab﹣5b2
＝8a2+12ab+4b2（平方米），
答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米．
【点评】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型．
21．一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样．
（1）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为15，则n＝ 4 ．
（2）在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明）
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）根据概率判断即可．
【解答】解：（1）根据题意，得23+2+1+n=15，
解得n＝4，
经检验n＝4是方程的解，
所以n＝4；
故答案为：4；
（4）公平，
P（小颖获胜）=510=12，P（小英获胜）=510=12，
∵12=12，
∴公平．
【点评】本题考查了概率公式和随机事件，熟练掌握概率公式是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，猜想BE与CD的关系，并证明．
【分析】证△CAD≌△EAB（SAS）即可证出CD＝BE，再根据8字型得∠COF＝∠CAE＝90°．
【解答】解：BE＝CD，BE⊥CD，理由如下：
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠CAB＝∠CAE+∠CAB，即∠BAE＝∠CAD，
在△CAD和△EAB中，
AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，
设BE与CD交于点O，AC与BE交于点F，
∵∠AFE＝∠OFC，
∴∠COF＝∠CAE＝90°，
∴BE⊥CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，证明△CAD≌△EAB是解题关键．
23．【问题发现】
（1）如图①，在△PAB中，过点P作MN⊥AB，垂足为点C，且AC＝BC．若PB＝6，则PA的值为 6 ；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC＝25，连接AD、AE，求△ADE的周长；
【拓展应用】
（3）如图③，△ABC是一个游乐场的平面示意图，A为游乐场大门，其中AB＝AC＝400米，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D．现分别在BD、BC上各取一点P、Q，且满足BP＝CQ，计划沿AP、AQ修建两条轨道交通以方便游客游玩，已知两条轨道造价均为每米350元，求修建这两条轨道总费用的最小值．
【分析】（1）直接证明△ACP≌△BCP（SAS），再根据全等三角形的性质即可解答；
（2）由垂直平分线的性质可得AC＝BC、PC＝PC，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答；
（3）由题意可得∠ABD＝∠CBD＝20°，作线段CE，使∠ECQ＝∠PBA＝20°，EC＝AB，连接QE，AE，可证△ACE是等边三角形可得AB＝AE，再证明△ECQ≌△ABP（SAS）可得QE＝AP，进而得到AP+AQ的最小值为AE，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
在△ACP和△BCP中，
AC=BC∠PCA=∠PCBPC=PC，
∴△ACP≌△BCP（SAS），
∴PA＝PB＝6，
故答案为：6；
（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，CE＝AE，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝25；
（3）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝20°，
如图③：作线段CE，使∠ECQ＝∠PBA＝20°，EC＝AB，连接QE，AE，
∴∠ACE＝∠ACB+∠ECQ＝40°+20°＝60°，
∵AB＝AC，EC＝AB，
∴AC＝EC，
∴△ACE是等边三角形，
∴EC＝AE，
∴AB＝AE，
在△ECQ和△ABP中，
CQ=BP∠ECQ=∠ABPEC=AB，
∴△ECQ≌△ABP（SAS），
∴QE＝AP，
∴AP+AQ＝QE+AQ≥AE，
∴AP+AQ的最小值为AE，
∴AE＝AB＝400米，
∵两条轨道造价均为每米350元，
∴修建这两条轨道总费用的最小值为400×350＝14000（元）．
答：修建这两条轨道总费用的最小值为14000元．
【点评】本题主要考出了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
C
D
C
D
C
A