浙江省精诚联盟2025届高三下学期适应性联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省精诚联盟2025届高三下学期适应性联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集U=R，集合A=x∈Z2≤x3≤28，B=x∈Zx≤2，则∁UA∩B=（ ）
A．1,4B．0,1,4C．0,1,2,4D．0,1,2,3,4
【答案】B
【解析】A=2,3，B=0,1,2,3,4，所以∁UA∩B=0,1,4，
故选：B．
2．已知向量a=-2,m，b=1,1，若b⊥a-b，则csa,b=（ ）
A．1010B．55C．33D．22
【答案】A
【解析】由题意知，b→⊥a→-b→，所以b⋅a-b=0，
因为a→=-2,m,b→=1,1，所以1,1⋅-3,m-1=0，
即-3+m-1=0，得m=4，
所以csa,b=a⋅bab=225⋅2=1010，
故选：A．
3．已知函数fx=2x,x>0-ax,x0，00，故gx（即f'x）在0,+∞上单调递增，
又f'0=-10，fx在x∈x0,+∞上单调递增，
所以fx在x=x0处取得极小值，
综上，当a=0时，fx有1个极小值点，无极大值点．
（2）由题，f'x=ex+sinx-2a+2x≥0，
令hx=ex+sinx-2a+2x≥0，则h'x=ex+csx≥1+csx≥0，
所以hx（即f'x）在0,+∞上单调递增，故f'x≥f'0=-2a-1，
当a≤-12时，f'x≥f'0=-2a-1≥0，此时fx在0,+∞上单调递增，故fx≥f0=0，符合题意；
当a>-12时，f'0=-2a-10，使得f'x=0，
当x∈0,x1时，f'x0，b>0）的焦距为25，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点B2,1．
（1）求双曲线E的方程；
（2）是否存在直线l，使得△ABP与△ABQ的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；
（3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：AM+AN为定值．
（1）解：由题，设双曲线E的焦距为2c，则2c=25，即c=5，
根据双曲线的性质可知，点B2,1在渐近线y=bax上，
所以2ba=1，即a=2b①，
又c2=a2+b2，所以a2+b2=5②
又①②解得a2=4，b2=1，
所以E的标准方程为E:x24-y2=1．
（2）解：不存在，理由如下：
假设存在直线l，使得△APB与△ABQ的面积相等，
则点B为PQ的中点，设Px1,y1，Qx2,y2，代入E的方程得：x124-y12=1，x224-y22=1
两式作差得x1+x2x1-x2=4y1+y2y1-y2，
因为点B2,1为PQ的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，
故y1-y2x1-x2=12，即直线l的斜率为12，
故直线l:y-1=12x-2，即l:y=12x，
此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾，
所以不存在直线l，使得△APB与△ABQ的面积相等
（3）证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线l:y=kx-2+1，与E的方程联立y=kx-2+1x24-y2=1，得4k2-1x2+8k1-2kx+16k2-16k+8=0，
由题，Δ=64k21-2k2-44k2-116k2-16k+8>04k2-1≠0，得k0），则称数列bn为“绝对等差数列”，常数j为数列bn的“绝对公差”．已知“绝对公差”数列an所有项的和为E．
（1）若j=1，a1=2，a4=1，请写出有序实数对a2,a3的所有取值；
（2）若数列an共有259项，且j=3，a1=211，a259=985，求数列an的通项公式an；
（3）若j为奇数，数列an共有2k（k∈N*，k≥2）项，且a1=0，E=0．证明：k为偶数，并写出一个符合条件的数列an．
（1）解：由题，a2-a1=a2-2=1，所以a2=3或a2=1，
当a2=3时，a3-a2=a3-3=1，得a3=2或a3=4，
因为a4-a3=1-a3=1，所以a3=2，
此时a2,a3=3,2；
当a2=1时，a3-a2=a3-1=1，得a3=0或a3=2，符合a4-a3=1-a3=1，
此时a2,a3=1,2或a2,a3=1,0，
所以a2,a3的取值情况为3,2，1,2，1,0．
（2）解：由题，ak+1-ak=3，k=1,2,⋯,258，
所以a259-a258≤3,a258-a257≤3,⋯⋯,a2-a1≤3，
累加得a259-a1≤774，即a259≤a1+774=985，
因为a259=985，所以上述不等式中的等号同时成立，
所以ak+1-ak=3，k=1,2,⋯,258，
故数列an是以a1=211为首项，3为公差的等差数列，
故an=211+n-1×3=3n+208（n∈N*，n≤259）．
所以数列an的通项公式an=3n+208（n∈N*，n≤259）．
（3）证明：令ch=ah+1-ah，h=1,2,⋯,2k-1，则ch=±j，
因为a2=a1+c1,a3=a1+c1+c2,⋯⋯,a2k=a1+c1+c2+⋯+c2k-1，
所以E=a1+a2+⋯+a2k=2ka1+2k-1c1+2k-2c2+⋯+c2k-1，
又a1=0，所以E=2k-1c1+2k-2c2+⋯+c2k-1
=2k-1+2k-2+⋯+1-2k-11-c1+2k-21-c2+2k-31-c3+⋯+1-c2k-1
=2k-1×2k-1+12-2k-11-c1+2k-21-c2+2k-31-c3+⋯+1-c2k-1
=2k-1k-2k-11-c1+2k-21-c2+2k-31-c3+⋯+1-c2k-1因为ch=±j，且j为奇数，所以1-chh=1,2,⋯,2k-1为偶数，
所以2k-11-c1+2k-21-c2+2k-31-c3+⋯+1-c2k-1为偶数，
因为E=0，所以2k-1×k为偶数，
又因为2k-1为奇数，所以k为偶数．得证．
当kk≥2为偶数时，an=0,n为奇数j⋅-1n2,n为偶数．符合条件