浙江省精诚联盟2023届高三下学期适应性联考数学试题 Word版含解析

2022学年第二学期浙江精诚联盟适应性联考

高三数学学科

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知实数集，集合，则（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由交集，补集的运算，代入计算即可得到结果.

【详解】由题意可得，，所以；

故选：B.

2. 已知复数满足，则（    ）

A. 5 B.  C. 13 D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，利用复数的运算法则和复数相等，建立的方程组，直接求出，从而可求出结果.

【详解】设，则，所以，

解得或，所以.

故选：B.

3. 盒子里有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个黑色，6个白色.现每次不放回地抽取2个小球，直到2个黑球全部取出为止，则共有（    ）种不同的取法.

A. 10 B. 4 C. 16 D. 20

【答案】A

【解析】

【分析】利用分类加法计数原理即可求出结果.

【详解】1次取完：2黑，共1种取法；

2次取完：①第1次1黑1白，第2次1黑1白；②第1次2白，第2次2黑；共2种取法；

3次取完：①前2次中取出一个黑球，第3次取出一个黑球；②前2次都是白球，最后一次2个黑球，共.

4次取完：①前3次中取出一个黑球，第4次取出一个黑球；②前3次都是白球，最后一次2个黑球，共；根据分类计数原理知，共10种，

故选：A.

4. 建筑物的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，这种建筑叫攒（cuán）尖建筑，其屋顶叫攒尖顶.其特点是屋顶为锥形，没有正脊，顶部集中于一点，即宝顶，该顶常用于亭､榭､阁和塔等建筑.1981年温州江心屿的东西双塔列为温州市第一批文物保护单位.江心屿东塔为六角攒尖顶，其檐平面呈正六边形，它有着与其角数相同的垂脊和围脊，如图所示，它的轮廓可近似看作一个正六棱锥.假设东塔的围脊为，垂脊为，则攒尖坡度（屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值）为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】为底面中心，连接，确定为屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值，计算得到答案.

【详解】如图，为底面中心，连接，连接，三直线交于点，

为中点，连接，，则，底面，

故为屋顶斜坡与檐平面所成二面角的正切值，

为等边三角形，，，

所以.

故选：C

5. 设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】联立直线和抛物线求出两根积，结合抛物线定义得出焦半径，最后求值即得.

【详解】

.

故选：B.

6. 已知函数的部分图象如图所示，其中，图中函数的图象与坐标轴的交点分别为，则下列代数式中为定值的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象，由求出，再由M，N点的坐标求出为定值.

【详解】由图象可得，，且，

所以，

令，则，所以，

则.

故选：D

7. 如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先得到球心在的中点，然后当与球相切时直线与直线所成角的最大，过作垂足为，当平面时四面体体积取得最大值，即可求出答案.

【详解】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点，

因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，

因为，，所以，

过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动.

所以当平面时四面体的体积取得最大值.

因为，所以，

所以，

故选：D.

8. 已知两曲线与，则下列结论正确的是（    ）

A. 若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标

B. 若，则两曲线只有一条公切线

C. 若，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为

D. 若分别是两曲线上的点，则两点距离的最小值为1

【答案】C

【解析】

【分析】对于选项A，由公切线斜率相等，可得关系，借助导数求出范围；

对于选项B，由有两个零点可判断为错误；

对于选项C，由导数的几何意义，表示出切线方程，解方程组可判断；

对于选项D，由图象，或找到两曲线斜率相等的切线，求出切线间的距离，可判断.

【详解】若两曲线只有一个交点，记交点为，则，

且在此处的切线为公切线，所以，即满足.

设，则时单调递增，，所以错误.

如上图，时，设，

则，由于，，

所以存在，使得，

那么当时，，为单调递减函数，

当时，，为单调递增函数，

且，所以有两个零点，

则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以错误.

时，设是曲线上的一点，，

所以在点处的曲线切线方程为，即①，

设是曲线上的一点，，

所以在点处的切线方程为，即

所以，解得或

所以所以两斜率分别是1和，所以正确.

时，曲线的一条切线为，的一条切线,

两切线间的距离为最小值，所以错误.

故选：C

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某市举行高三学生数学素养测试，现从全市3万名学生中随机抽取200学生的测试成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组分组区间为，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 估计该样本的均值是87.25分

C. 估计该样本的第百分位数是87.5分

D. 若90分及以上评定为素养考核优秀，则全市数学素养优秀的学生约6000人

【答案】AB

【解析】

【分析】由频率分布直方图的面积和为1判断A，根据频率分布直方图和均值，第百分位数的意义判断BC，由频率分布直方图求得的频率，进而求得频数判断D.

【详解】由频率分布直方图，可知

，解得，故正确.

由频率分布直方图，可估计样本的均值是

，故B正确.

由频率分布直方图可知第1到5组的频率依次为，

所以第百分位数在区间内，

设样本的第百分位数为，解得，故C错误.

的频率为，所以全市数学素养优秀的学生约人，故D错误.

故选：AB

10. 已知向量，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若为锐角，则

C. 若在上的投影向量为，则

D. 的最小值为1，最大值为3

【答案】AC

【解析】

【分析】由向量共线的坐标运算即可判断A，由向量夹角的坐标公式即可判断B，由投影向量即可判断C，由向量模的坐标运算公式即可判断D.

【详解】若，则，解得，所以，故A正确；

若为锐角，则，且与不能同向共线，所以，故B错误；

若在上的投影向量为，则，

即，解得，所以，故C正确；

因为，所以，

因为，则，则，

所以，即，

所以，故D错误.

故选：AC

11. 我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴､地方财政补贴､免征车辆购置税､充电设施奖补､车船税减免､放宽汽车消费信贷等.记事件表示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；事件表示“电动汽车销量增加”，，.一般来说，推出购车优惠补贴政策的情况下，电动汽车销量增加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的概率要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. .

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A，直接根据题意即可判断出正误；对于选项B，利用条件和对立事件的概率公式即可判断出正误；对于选项C和D，根据条件和条件概率公式，再进行变形化简即可判断出正误.

【详解】根据题意知，故选项正确；

由，得到，即，故选项B错误；

又由知，，化简得到，所以选项C正确；

又由，得，所以，

即，即，

即，故D正确；

故选：ACD.

12. 已知函数的定义域均为.若时，且时，则（    ）

A.  B. 函数的图像关于点对称

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据条件先求出，再根据求值判断A，结合已知，然后利用对称中心的概念判断B，根据数列知识及函数性质求出函数值的和即可判断C、D.

【详解】因为时，

所以，

又时，所以，，，，

所以，

故选项A正确；

由得，

由知是奇函数，所以，

上面两个式子相加得，所以关于对称，所以错误；

，故选项错误；

由得

，

所以正确.

故选：AD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 不等式的充分不必要条件可以为___________.

【答案】（答案不唯一）.

【解析】

【分析】直接求解一元二次不等式，根据条件写出答案即可.

【详解】，

，

故只需写一个满足的答案即可.

故答案为：（答案不唯一）

14. 小明骑车由地出发向东骑行了到达地，然后由地向北偏东方向骑行到了地，再从地向北偏西方向骑行到了地，此时地在地的北偏东方向处，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】画出图形，易得是等边三角形，是等腰直角三角形，从而可得答案.

【详解】画出示意图.

由题知，所以是边长为的正三角形，

又可知，

所以为等腰直角三角形，其中为斜边，且，

所以.

故答案为：.

15. 的展开式中的系数为___________（用数字作答）.

【答案】14

【解析】

【分析】根据二项式定理求出含的项，即可得其系数.

【详解】因为，

所以的展开式中含的项为，

展开式中的系数为14.

故答案为：14

16. 已知椭圆的上下顶点分别为，过点的直线交椭圆于两点，记，则___________.

【答案】3

【解析】

【分析】设，直线斜率为，直线：，直线：，联立直线和椭圆得到，，再把直线，直线分别与直线联立求得和坐标，利用等式得到和，两式相乘即可得出答案.

【详解】如图，，

设，直线斜率为，

则直线为，

联立，得，

则，，

设直线：，直线：，

联立，得，

联立，得，

由得，

解得，①

由得，

解得，②

①②得：，

即，则.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查解析几何，考查直线与椭圆相交问题，考查数学运算，属于中档题.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.

（1）证明：数列是等差数列，

（2）若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.

（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.

【小问1详解】

由题知，是等比数列，

设其公比为，

由，

可得：当时，，

两式相减得，，

故数列是等差数列.

【小问2详解】

由知：

当时，，

又，所以，

由（1）设的公差为，

则，

由，

则，，

所以

.

即数列的前20项和为.

18. 在中，角所对的边分别为.

（1）若外接圆的半径为，求面积的最大值；

（2）若内切圆的半径为，求面积的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由条件可得角，用面积公式表示出面积，用余弦定理找到、的关系式，然后用基本不等式即可求解；

（2）求得角后，由内切圆的半径为，可得边长的关系式，然后用基本不等式化和为积，进而解不等式即可求解.

【小问1详解】

由得，，

所以，又，所以，

所以，因为，所以；

由外接圆的半径为，则得，

由余弦定理得，，即，

所以，解得

所以，故面积的最大值为.

小问2详解】

如图，圆是的内切圆，切点分别是、、，

由，内切圆的半径为，所以，

则，，

所以，

即得，

而，所以，

所以，解得舍去），

所以，

故面积的最小值为.

19. 在四棱锥中，底面为矩形，，为等腰直角三角形，平面平面，为中点.

（1）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）存在，   

（2）

【解析】

【分析】（1）法1：取中点，记为，连接，，，根据面面垂直的性质得到平面，利用等体积法计算可得；

法2：取中点，记为，连接，，，根据面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

（2）法1：过点作，交于点，连结，则，则为二面角的一个平面角，再由余弦定理计算可得；

法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【小问1详解】

法1：取中点，记为，连接，，，

因为为等腰直角三角形，所以，

平面平面，平面平面，

平面，平面，

因为，，所以，则，

，，

假设存在，由，即，

又，所以，

又，

，又，又，.

法2：取中点，记为，连接，，，

因为为等腰直角三角形，所以，

平面平面，平面平面，

平面，平面，因为，，所以，

如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

设线段上存在，使得它到平面的距离为，

则，，，

设平面的法向量，则，令，则，

到平面的距离，解得或（舍去），

则，；

小问2详解】

法1：由（1）可知平面，易得，，

则，，

过点作，交于点，连结，则，

为二面角的一个平面角，

在中，可得，同理可得，又，

，

，即二面角的正弦值为；

法2：如图建立空间直角坐标系：

则，

所以，，，

设为平面法向量，

所以，则，

设为平面法向量，则，令，则，

设二面角为，显然为锐角，则，

所以，即二面角的正弦值为.

20. 鱼饼是许多浙南人心目中的白月光，作为伴手礼也是首选.某市的鱼饼原材料严选新鲜东海野生鮸鱼，在传统手工技艺上结合现代技术研发，每道工序都十分的考究.从原材料鮸鱼的筛选､鱼骨的剔除､独家配料的调制､古法工艺的制作至大厨精心烹制，经十余道工序匠心制作而成，新鲜出锅的鱼饼色净白，鱼香浓，味鲜柔，口感细腻，弹柔相济，属纯正温州地方美味.

（1）某市质量技术检测科学研究院对某一批次的鱼饼进行检测，检测项目分别为菌落总数､氯霉素､铝的残留量，而且这三个检测项目互不影响，鱼饼需要经过这三个项目检测，只要有一项检测不合格就不允许上架售卖.已知这批次鱼饼菌落总数检测不合格的概率为，氯霉素检测不合格的概率为，铝的残留量检测不合格的概率为.

（i）求检测过程中，这批鱼饼不合格的概率；

（ii）求在已经通过菌落总数和氯霉素的检测项目的情况下，仍不允许上架售卖的概率；

（2）随着鱼饼市场的不断扩大.某市现针对鱼饼口感的满意度进行用户回访.统计了200名用户的数据，如下表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与满意程度有关联？

参考公式：

【答案】（1）（i）；（ii）   

（2）认为年龄与满意程度之间有关联

【解析】

【分析】（1）对于（i），根据相互独立事件的概率计算公式算出可以售卖的概率，然后可得答案，对于（ii），算出在已经通过菌落总数和氯霉素的检测项目的情况下，可以上架售卖的概率，然后可得答案；

（2）根据列联表算出的值，然后可得答案.

【小问1详解】

设表示鱼饼可以上架售卖，表示分别通过菌落总数､氯霉素､铝的残留量的检测.

（i）因为这三个检测是相互独立的，所以这批鱼饼允许上架售卖的概率为

因此这批鱼饼不合格的概率为.

（ii）在通过菌落总数和氯霉素的检测项目后允许上架售卖的概率为：

因此，通过菌落总数和氯霉素的检测项目但是仍不允许上架售卖的概率.

【小问2详解】

零假设为：变量与相互独立，即年龄与满意程度之间无关联.

根据列联表

中的数据，得：

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为年龄与满意程度之间有关联.

21. 已知是双曲线左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的离心率公式及点在双曲线上即可求解；

（2）根据两点的斜率公式及角平分的性质，利用斜率的定义及两角和的正切公式，结一元二次方程的解法，注意分类讨论即可求解.

【小问1详解】

由题意可知：，

因为点在双曲线上，

所以，解得（负舍），

所以

所以双曲线的标准方程.

【小问2详解】

由题意可知，作出图形如图所示

当时，因为在上，

所以，解得（负舍），

所以

所以，

设斜率斜率的角平分线斜率，

设，则

所以，即即，解得，

当时，

所以，

，

，

所以,

当时，

所以

.

综上所述：.

【点睛】关键点睛：解决此题第一问的关键是利用点在双曲线上和双曲线的离心率公式即可，第二问，利用角平分线的定义及斜率的定义，结合二倍角的正切公式注意分类讨论即可.

22. 已知函数.

（1）若点在曲线上，且点是函数图象的对称中心，求过点的的切线方程；

（2）若，且有三个不同的零点，且，求的取值范围.

【答案】（1）和   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据点在曲线上和对称中心得到，求导得到导函数，设切点得到切线方程，将点代入切线方程得到答案.

（2）确定当时，方程有两个不同的解，变换得到，构造函数，求导得到单调区间，计算最值为，解得答案.

【小问1详解】

，则，

设，，

故，解得，

即，则.

函数在处的切线方程为，

即，

将点代入切线方程得，

整理得，即，解得或.

故过点的函数的图象的切线方程为：和.

【小问2详解】

根据题意：当时，方程有两个不同的解，故，

等号两边同时取对数得，，令，

则，令，得，，，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以.

，又当无限趋近于负无穷大时，为正数，无限趋近于正无穷大，

当无限趋近于0时，也无限趋近于正无穷大，

故要使有两个零点，只需，

即，所以，解得，又，

故实数的取值范围.

【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将函数的零点问题通过构造函数的方法转化为函数的最值问题是解题的关键.