甘肃省武威市2024-2025学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷

这是一份甘肃省武威市2024-2025学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．1 B．2 C．4D．5
2．设，且，则（ ）
A．1 B．C．D．
3．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．为了提高出行效率，避免打车困难的情况，越来越多的人选择乘坐网约车．已知甲、乙、丙三人某天早上上班通过某平台打车的概率分别为，，，且三人互不影响，那么甲、乙、丙3人中至少有2人通过该平台打车的概率为（ ）
A． B．C． D．
7．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（ ）
A． B．1C．3D．7
8．已知，均为锐角，且，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分， 共18分． 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分）
9.下列命题正确的是（ ）
A. 若存在实数x，y，使，则与共面
B. 若与共面，则存在实数x，y，使
C. 若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面
D.若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使
10．已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
且，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ）
A.存在点D，使得AD⊥平面BCM
B.周长的最小值为
C.三棱锥的外接球的体积为
D.平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12.已知，若，则的值为 .
13.已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是 ．
14.商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第1天小明选择了餐馆，则第n()天选择餐馆的概率 = ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
16．如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离.
17．某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表．
(1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布,其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数）
(2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：①，.；
②若随机变量，则，，；
③，.
18.近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：
(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？
(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式:求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．
附：，其中．
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由.
0
1
2
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
新建社区养老机构
黄色蜂蜡罐
褐色蜂蜡罐
M品种蜜蜂
40
20
N品种蜜蜂
50
10
参考答案
12．5
13．
14．()
15．解：（1）当时， ，，
，
由，可得或，
由，可得，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是和；
（2）解法1：由恒成立，可得：对，，
即，，
令，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以当时，，所以，
所以实数的取值范围为．
解法2：由恒成立，可得：，，
令，
当时，可得，
即在上单调递增，
又，即不能恒成立，不合题意；
当时，令，解得，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以，
因为恒成立，则需使恒成立，解得，
所以实数的取值范围为．
16．（1）证明：如图，建立空间直角坐标系，
所以，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
显然，所以平面；
（2）解：由（1）可知平面的法向量为；
又
所以到平面的距离.
17．解：（1）由题意可知，，，
则，，
所以，
，
所以，估计该地参与社区养老的老人人数为.
（2）由表格中的数据可得，
所以，，
由已知条件可得，
所以，，
所以，，
又因为，
显然，解得，则，
所以，关于的回归直线方程为，
当时，.
估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个.
18．（1）解：根据列联表得，
所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联．
（2）（i）证明：由已知公式可得，，，，，则

，得证．
（ⅱ）解：①选M品种，设选M品种蜜蜂被抽到为事件C，
由题意得,
故选M品种，被抽到的概率为．
②选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D，
由题意，
故选N品种，被抽到的概率为．
19．（1）证明：连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以点是的中点，
又点是的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）解：因为底面为矩形，底面，
所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
又，
设，
则，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，所以，解得或，
又，
当时，，当时，，则的长为或.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
B
A
D
A
C
AC
AD
题号
11









答案
ACD