云南省楚雄彝族自治州2023~2024学年高一下学期期末教育学业数学试卷[附解析]

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数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据其几何意义确定所在象限即可.
【详解】在复平面内对应的点在第四象限,
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得集合，结合集合交集的定义运算，即可求解.
【详解】依题意得，
则，
故选：A．
3. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到．
故选：B
4. 某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（ ）
A. 甲地区B. 乙地区C. 丙地区D. 丁地区
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差最小．
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
因在上单调递减，且，
所以，所以，即，
所以.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】由，得，
则，即．
故选：C.
7. 如图，为正三角形，与是三个全等的三角形，若，则的面积为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件推理得到正三角形，根据线段比例关系，设出，求得,利用余弦定理求得的值，即可计算得到.
【详解】因与是三个全等的三角形，则得,
即得,故．
又设，则.
由余弦定理得，解得1，则，
所以的面积为．
故选：D.
8. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解.
详解】由题意知，解得，所以，即 ，
易得在上单调递增．因为，所以为奇函数．
又，故等价于，
则，解得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.
解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 的虚部为2B.
C. D. 为纯虚数
【答案】ACD
【解析】
【详解】先求出，借助于相关概念即可判断各选项.
根据题意可得，
对于A，显然 的虚部为2，故A正确；
对于B，由可得，，故B错误；
对于C，因则，故C正确；
对于D，为纯虚数，故D正确．
故选：ACD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在上单调递减
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 在上取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据图象求出、、可判断A；求出范围，根据正弦函数单调性可判断B；求出可判断C；求出的范围可得的范围可得答案.
【详解】对于A，由图可得的最小正周期为，
则，解得，
将代人中，得，
则，解得．
因为，所以，则，故A错误．
对于B，由，得，
因为，所以在上单调递减，故B正确．
对于C，因为，
所以直线是图象的一条对称轴，故C正确．
对于D,由，得，
所以，
，
所以的取值范围为，故D正确．
故选：BCD.
11. 如图，已知正方体的棱长为是棱的中点，则（ ）

A. 向量在方向上的投影向量为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用投影向量可判断A，连接，易得即为异面直线与所成的角，即可求出B，三棱锥的外接球即为正方体的外接球即可求出C，连接，可得即是直线与平面所成的角，即可求解.
【详解】对A，因为是棱的中点，所以向量在方向上的投影向量为，A正确；
对B，连接，由正方体的性质可知，，由等角定理易得即为异面直线与所成的角，易得，所以，B错误；
对C，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，易得外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，C错误；
对D，连接，因为几何体为正方体，体对角线垂直于没有公共点的面对角线，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，设直线与平面所成的角为，则，D正确．
故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若实数满足，则的最大值为___________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】根据题意可得，得，当且仅当或时，等号成立，故的最大值为20．
故答案为：
13. 已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．
【答案】 ①. 4 ②. ##
【解析】
【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积.
【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则，
解得，
故该正四棱台的体积为．
故答案为：①4；②.
14. 已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】化简得到，求得的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果.
【详解】由题意可得．
由，得．
因为在上恰有2个零点，
所以，解得．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量满足．
（1）若，求的值；
（2）若，求向量与夹角的大小．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参；
（2）先根据垂直结合向量的模长求出，最后根据夹角公式计算即可.
【小问1详解】
根据题意可得，
解得．
【小问2详解】
由，得．
因为，所以，
所以，
所以，
又，所以．
16. 在中，角的对边分别是．已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的值；
（3）若为的中点，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件根据正弦定理和余弦定理化简，从而可得出答案；
（2）根据正弦定理即可求解；
（3）由向量可得，由向量求模公式即可求解.
【小问1详解】
由，
得，
即，所以，
因为，所以．
【小问2详解】
根据正弦定理，可得．
【小问3详解】
由题意可得，
则．
17. 某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g）进行统计，并将样本数据分为六组，得到如下频率分布直方图．

（1）试估计样本数据的分位数；
（2）从样本数据在内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率；
（3）若规定质量在内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．
【答案】（1）73.75g
（2）
（3）0.1164
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的分位数.
（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.
（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，样本数据在的频率为，在的频率为，
则样本数据的分位数，于是，解得，
所以样本数据的分位数约为73.75g.
【小问2详解】
样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为，
样本数据在内的产品被抽取的件数为，记为
则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：
，共10种，
其中标准样例中恰有1件产品的质量在内的情况有6种．
所以标准样例中恰有1件产品的质量在内的概率为．
【小问3详解】
依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为，
则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为．
18. 某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工
（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式
（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．
（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；
（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85
【解析】
【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式；
（2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解.
【小问1详解】
当时，；
当时，．
故关于的函数解析式为
【小问2详解】
（i）这100天有5天的日利润为元，
10天的日利润为元，
20天的日利润为元，
65天的日利润为800元，
所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元．
（ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤
故当天的利润不少于780元的概率为．
19. 在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：．
（3）若二面角的正切值为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）48
【解析】
【分析】（1）连接，证明，由线线平行证线面平行即得；
（2）过作交于，证平面得，由平面得，可证平面，即得；
（3）过作交于,证平面，作交于，连接，证即为二面角的平面角，由题设，通过两组三角形相似求出即得.
【小问1详解】
如图，连接．

因为分别为的中点，所以为的中位线，则．
因为平面平面，所以平面．
【小问2详解】
如图，过作交于．

因平面平面，平面平面，平面，故平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，所以．
因为，所以平面，
又平面，所以．
【小问3详解】
如图3，过作交于，过作交于，连接．

因平面，平面,则,
因平面,故得平面.
因平面,则．
因为，平面,所以平面.
又平面，则，则即为二面角的平面角，
依题意，．
设，则．因为，所以．
由，得，即，则．
又由，得，即，解得．
因,则的面积为，
故．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.
解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.
日需求量x
770
780
790
800
820
830
频数
5
10
20
35
20
10