浙江省宁波市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了 设，则， “”是“”的等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名､座号､准考证号､班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上，并用2B铅笔把答题卡上准考证号以及对应选择题题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.其中解答题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得到或，所以，
又由，得到，所以，得到，
故选：A.
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，；
反之当时，或，
因此“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 9B. 6C. 4D. 3
【答案】A
【解析】因正数a，b满足，
则，
当且仅当，即，
所以当时，取得最小值9.
故选：A
4. 已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
在上单调递减，在，上单调递增，
是在，上的最小值，且，，
在，上的值域为，．
故选：A．
5.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为,则的系数为（ ）
A. 15B. 45C. 135D. 405
【答案】C
【解析】令,代入
可得各项系数和为
展开式的各项的二项式系数和为
由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64
所以
解方程可得
则二项式的展开式的通项公式为
令
解得
所以的系数为
故选:C
6.函数(其中,)的图象如图所示,为了得到的图象，可以将的图象( )
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】由题意，,
所以，令，则
，
即向右平移可以得到.
7. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”
则，
则
本题正确选项：
8. 若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】C
【解析】∵对任意实数，都有，
令，则.
又，
∴，
∵函数是上的单调函数，解得.
∴，∴.
故选：C.
二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若变量与之间的相关系数，则与正相关
B. 由样本数据得到的线性回归方程必过点
C. 已知，，则
D. 已知随机变量，则
【答案】ABD
【解析】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确；
对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确；
对于C，已知，，则，故C错误；
对于D，已知随机变量，则，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是 （ ）
A. 不等式的解集或
B. 一扇形的圆心角，半径，则该扇形的周长为
C. 命题，，则，
D. 已知幂函数的图象经过点，那么
【答案】BCD
【解析】不等式，即，
整理为，解得：，
所以不等式的解集为，故A错误；
扇形的弧长为，所以扇形的周长为，故B正确；
根据全称量词命题的否定形式可知，命题，，则，，故C正确；
由题意可知，，得，故D正确.
故选：BCD
11. 设函数，下列命题中正确的有（ ）
A. 时，是奇函数
B. 时，方程只有一个实根
C. 的图象关于对称
D. 方程至多有两个实根
【答案】ABC
【解析】对于A，，，定义域为，
所以，
则是奇函数，故A正确；
对于B，，令可得，
则方程只有一个实根，故B正确；
对于C，设函数上的任意一点关于点对称的点，
则．代入可得，
所以的图象关于对称，故C正确；
对于D，当，，的根有，，，
此时方程有三个实根，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算：__________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
13. 设随机变量服从正态分布，若，则实数______.
【答案】
【解析】因为随机变量服从正态分布，且，
所以，由正态分布的对称性可知：，解得.
故答案为
14. 若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为___.
【答案】2
【解析】，
当且仅当时取等号，
，，
，
，
，
的最小值为2
故答案为：2
四､解答题：（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）将6个相同的小球放入4个编号为的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）
解：（1）恰有一个空盒子，插板分两步进行：
先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，
如，有种插法，
然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如，有种插法，
故共有种放法.
（2）符合要求的数可分为两类：
第一类：个位上的数字是0的四位数有个，
第二类：个位上的数字是5的四位数有个，
故满足条件的四位数的个数共有（个）.
（3）先排甲，乙，丙3人以外的其他4人，有种排法；
由于甲，乙要相邻，故先把甲，乙排好，有种排法；
最后把甲，乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，
则有种排法.所以共有种不同的排法
16. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知是第二象限角，求的值.
解：（1）因为，则，
所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，且是第二象限角，
可知是第二象限角，
则，
所以.
17. 已知函数
（1）求的最小正周期和对称中心;
（2）求的单调递减区间；
（3）当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值
解：（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
（2）解不等式，
解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（3）当时，，
当时，
即当时，
函数取得最大值，最大值．
18. 一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，.
（1）现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列；
（2）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（3）甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.
解：（1）由函数解析式可知，偶函数有，，；
奇函数有，，，；
非奇非偶函数有，，；
所以的可能取值为、、、、、、，
则，，，
，，，，
所以分布列为：
（2）因为为奇函数，，
令定义域为，且，
所以为奇函数，
即为奇函数，
其余只能由奇函数奇函数得到奇函数；
所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，
所得函数是奇函数的概率；
（3）游戏公平，理由如下：
记甲赢为事件，乙赢为事件，
则，
所以，则，故游戏公平.
19. 已知是定义在上的函数，对、都有，且满足.
（1）判断函数的奇偶性，并证明之；
（2）证明：；
（3）求值.
解：（1）因为是定义在上的函数，
对、都有
令得，可得，
再令得，所以是定义在的偶函数.
（2）令得，
再令得，
两式相加得，这里不恒为零，
故，即，
又因为函数为偶函数，则，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
（3）由（2）知，，，，，
所以，，
令得；
令，得，又，
得到；
令得，
所以
.
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