浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知平面， 给出四组成对数据， 在中，已知，则， 已知，则，05B等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面.则“两两垂直”是“两两垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当两两垂直时，在内作，在内作，
因为，，，，
所以，所以∥，
因为，所以∥，
因为，所以∥，
因为，所以，
因为，所以，
同理可证得，所以两两垂直，
当两两垂直时，因为，
所以，
因为，所以与是相交直线，
因为，，所以，
因为，所以，
同理可证得，所以两两垂直，
所以“两两垂直”是“两两垂直”的充要条件，
故选：C
2. 给出四组成对数据：（1）；（2）；（3）；（4），其中样本相关系数最小的是（ ）（提示：样本相关系数）
A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）
【答案】D
【解析】分别作出四组数据的散点图，
根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小，
故选：D
3. 已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（ ）
A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数
C. 既是偶函数又是减函数D. 既是偶函数又是增函数
【答案】B
【解析】因为函数，且的图象过点，
所以，解得（负值已舍去），
所以，又是的反函数，所以，
则，令，
解得，
所以的定义域为，令，
则，所以为奇函数，
又在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增.
故选：B
4. 已知函数，先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】由，
先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
可得：，
再将所得的图象向右平移个单位长度，
可得，
故选：A.
5. 在中，已知，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】在中，
化简得
两式做比值得
则
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. 0.05B. 0.27C. 0.68D. 0.32
【答案】C
【解析】由可得
,
所以,
故,
故选：C
7. 在正三棱锥中，侧棱，点在棱上，且.若球是正三棱锥的外接球，过点作球的截面，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，取正的中心，连接，
由题意可知：平面，且，
由平面，可得，
因为正的边长为，
则，
可得，
设正三棱锥的外接球的半径为，
则，解得，可知，
在中，可知，
由余弦定理可得，
即，可得，
则，
由球的性质可知：当且仅当截面，截面圆的半径最小，即圆的面积最小，
此时圆的半径为，截面面积为，
所以面积最小的截面的面积为.
故选：B.
8. 已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为（ ）
A. 58B. 71C. 85D. 96
【答案】B
【解析】根据题意，都比大，所以可能取或，
当时，有种选法，剩余数字中最大，
有种选法，最后剩下一个就是，共有种，
当时，，有种选法，剩余数字中最大，
而，有种选法，共有种，
当时，，，有种选法，
剩余数字，只有1种，共有种，
则满足要求的排列的个数为种.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于的方程在复数范围内的根为.若，则实数的值可能为（ ）
A. B. 1C. 0D.
【答案】ACD
【解析】由韦达定理可知，，，
，
当时，，则，得，
当时，，则，得.
故选：ACD
10. 高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】A选项，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，
若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，
故，
，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，
若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，
故，
故，A错误；
B选项，，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，
故，
，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，
故，故，B正确；
C选项，的可能取值为，
其中，，
，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，
故，
故，
的可能取值为，
其中，，
，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，
，
故
所以，C正确；
D选项，，
，
显然，D错误.
故选：BC
11. 已知，则（ ）
A. 展开式的各二项式系数的和为0
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】，
展开式的各二项式系数的和为，所以A错；
令，得到，令，得到，
，所以B对；
由二项式定理可得：，，
所以，，
，
，故C对；
，
，
，
，，故D对.
故选：BCD.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，.
若，则有，；
若，则有，无解.
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 已知平面向量满足，与的夹角为，对任意的实数，的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为平面向量满足 ，与的夹角为，可得，
由，当且仅当与向量反向时，等号成立，
又由，
当时，的最小值为，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知定义在上的函数满足下列两个条件：
①；②.
请你写出一个符合要求的函数解析式__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，
所以，可得，
设，可得.
因为，
，
所以，
且，符合题意.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）设，若是奇函数，求的值，并证明；
（2）已知函数，若关于的方程在内恰有两个不同解，求实数的取值范围.
解：（1）法一：，所以，
因为是奇函数，所以，
所以
整理得：
所以，所以，
法二：，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，
取得，所以.，
由上，且定义域为关于原点对称，
且，即为奇函数，得证.
（2）由题意得和两个函数图象有两个交点，
，得到，
若时，由，解得，且过，
又也经过定点，
当经过点时，，
当经过点0,1时，，
由图可知的取值范围是.
16. 如图，在三棱锥中，平面是以为直径的圆周上的一点，分别是上的动点，且平面，二面角的大小为.
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）当直线与平面所成的角最大时，求的值.
解：（1）因为平面平面，平面平面，
所以.
（2）因为平面平面，
所以平面平面，
因为是以为直径的圆周上一点，所以，
又平面平面平面，
所以平面，由（1）得，
所以平面.
（3）由（2）可知平面平面，所以平面平面
当为中点时，因为是等腰直角三角形，则，且，
则，
由平面平面，为交线，平面，，
可得平面，
所以在平面上的射影为，则直线和平面所成的角为.
.所以当最小时，最大.
此时，由，，
可得.
17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该地区高一学生阅读时间上四分位数；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图得：
，解得
频率分布直方图中，第一个小长方形面积为
第二个小长方形面积为
第三、四个小长方形面积为
第五个小长方形面积为
第六个小长方形面积为
前六个长方形面积和为0.8，
所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，
设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得
（2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人
设这一组的平均值，方差，
所以总体方差是，解得
（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，
由频率分布直方图可知内的概率是，
由
得
解得，所以当最大时，
18. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）若，求的面积；
（2）若为锐角，外接圆半径是，求的内切圆半径的最大值.
解：（1）由得，所以.
因为B∈0,π，所以，或
（i）当时，
因为，所以
化简得，所以，或
①当时，（舍去）；
②当时，作于，
得，
所以，此时
（ii）当时，
类似可得：
化简得：，所以，或者.
①当，舍去；
②当为钝角，舍去
综上得.
（2）由（1）可知
记内切圆半径为得，
因为，
所以
因，所以，
即，
所以
由，得.
所以
当且仅当时取等号.
19. （1）我们学过组合恒等式,实际上可以理解为,请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示）
（2）（i）求证：；
（ii）求值：.
解：（1）解法一：
；
解法二：设置情境，原式等价于从15个相同的球中取出5个，共有种选法，
所以原式；
（2）（i）；
（ii）
由（i）得，
则有，
原式
构造数列，令，
则，
所以
所以，即，
即，所以，即数列是周期为6的数列.
又因为，
所以.