浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
选择题部分
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
1. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，显然直线的倾斜角最大.
故选：C.
2. 已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设设点D的坐标为，
由题意得，
，
因为四边形是平行四边形，所以，
所以，解得，
故选：A.
3. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在平行六面体中，E为BC的中点，
所以.
故选：B.
4. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故选：B.
5. 若直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 5D.
【答案】C
【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，化简得，
所以，
当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，
故选：C.
6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在轴上，点在上，，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】如图，令，由，得，
又，则，
即，又由，得，
，
故选：D.

7. 已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的半焦距为，
则，解得：，
且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为，
因为圆的圆心为，半径，
可知圆关于轴对称，不妨取渐近线为，即，
则圆心到渐近线的距离，可得：.
又因为圆与双曲线的一条渐近线相交弦长为，
由题意可得：，解得：.
综上可得：的取值范围是.
故选：B.
8. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A. 曲线与直线无公共点
B. 曲线关于直线对称
C. 曲线与圆有三个公共点
D. 曲线上的点到直线的最大距离是
【答案】D
【解析】当时，曲线方程为，表示圆的一部分，
当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，
当时，曲线方程为，表示焦点在x轴上的等轴双曲线的一部分，
其图象如图所示：

A. 因为是等轴双曲线的渐近线，曲线与直线无公共点，故正确；
B. 将方程中的互换后方程不变，所以曲线关于直线对称，故正确；
C. 圆的圆心为，
又，即当时，
曲线与圆相切，所以有三个公共点，故正确；
D. 作与直线平行的直线与曲线切于点上的点到直线的最大距离是，故错误；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最大值2D. 为钝角，则
【答案】AB
【解析】A.若，则，解得，故正确；
B.当或时，不平行，
所以时，有，解得，故正确；
C. ，无最大值，故错误；
D. 若为钝角，则，且，不反向共线，
解得且，故错误；故选：AB.
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 的最小值为
C. 若是的中点，则到平面的距离为
D. 若直线与所成角的余弦值为，则
【答案】ABC
【解析】A. 因为平面，且平面，
所以平面平面，故正确；
B.因为，且为定值，所以，故正确；
C. 因为平面平面，且到平面，
所以到平面的距离即为到直线的距离，
又，，解得，故正确；
D.当时，，
则，故错误；
故选：ABC.
11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．已知在平面直角坐标系中，到两定点距离之积为常数的点的轨迹是双纽线．若是曲线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线上有且仅有1个点满足
B. 曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
【答案】ACD
【解析】设，则，
化简得，将代入可得，
所以曲线，
对于A，若点满足，则在垂直平分线上，则，
设，则，解得，故只有原点满足，故A正确；
对于B，令，解得或，即曲线经过，
结合图象，得，
令，得，
令，得，
因此，结合图象曲线只能经过3个整点，故B错误；
对于C，直线与曲线一定有公共点，
若直线与曲线只有一个交点，
所以，整理得无非零实数解，
，解得，故C正确；
对于D，可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，
即都不超过3，故D正确.
故选：ACD.
非选择题部分
12. 点到直线的距离最大值是____________．
【答案】
【解析】由题意得，直线过定点，则，
如图所示，当直线与直线垂直时，
此时点到直线的距离最大值，且最大值为.
13. 如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为___________（用向量来表示）.

【答案】
【解析】由题意，在三棱锥中，
已知平面， ,
∵面，∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量为：
.
14. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．

【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，设直线交双曲线及其渐近线分别于，及，，如图，

由，得，
由，得,
线段，绕轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，
它是一个圆环，其内径，外径，

此圆环面积为
因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为，而底面圆半径为，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为，
由祖暅原理知，此旋转体体积等于底面圆半径为，高为的圆柱的体积为.
四、解答题：本题共5神墙小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，直线l过点且与垂直.
（1）求直线l的方程；
（2）设l分别与交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.
解：（1）由题意可得的斜率为，
可得直线l的斜率为，由点斜式方程可得，
即直线；
（2）联立直线l和方程，解得；
联立直线l和方程，解得；
如下图所示：
设过三点A，B，O的圆的方程为，
将三点坐标代入可得，解得，
可得圆的方程为（或）.
16. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与、重合），平面与棱交于点．

（1）求证：；
（2）已知，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：∵，
且平面，平面，
∴平面，
又∵平面，且平面平面，
∴；
（2）解：连结，取中点，连结，

在菱形中，°，∴△等边三角形，
又∵为中点，∴，，
同理，又∵，∴，∴，
又，∴，
故两两垂直，
以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
∴，
∴，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，
故，又∵，
设与平面所成角为，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点．
（1）求双曲线C方程；
（2）证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．
（1）解：因为双曲线的实轴长为6，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，解得，
由，得，则C的方程为．
（2）证明：设，，因为直线过定点，显然直线l不垂直于轴，则设直线，
联立方程组，消去x得，
由，得，则，，
因为A为双曲线C的左顶点，所以，
直线AE的斜率，直线AF的斜率，
所以
，
即直线AE与AF的斜率之积为定值．
18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，，，M是棱PC上的点，且，.
（1）求证：平面PAD；
（2）设二面角的大小为，若，求的值.
（1）证明：因为，，所以，，
在中，，，
由余弦定理得，，
所以，即，，
取的中点，连结，因为是等边三角形，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面PAD，所以平面，
又因为平面，所以.
又因为，，平面，所以平面.
（2）解：取的中点N，连结，则，所以，
以为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
又，设平面MBD的一个法向量为，
则即，
当时，平面平面，不合题意；
当时，令，得平面的法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
故有，
解得或.
19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知．
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．
解：（1）由题意得椭圆方程为，所以，
设，则，
二次函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减，
所以时，函数取最大值，此时为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）因为椭圆方程为，，设，，
则，，
由题意得，当且仅当时，函数值达到最大，
①当开口向上时，满足（与矛盾，舍去）；
②当开口向下时，满足，
综上可得的取值范围为．
（3）法—：由（2）可得，则椭圆方程为，
由题意：设且，
则，则直线：，则，
则直线，则，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且,
∴，，
则，解得，所以得定点．
法二：椭圆方程：，设，
则，所以，，
若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，
∴设，则，又，，
所以， ∵，解得，
所以得定点.