湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期第一次阶段检测试卷

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高一数学上学期第一次阶段检测试卷，共7页。试卷主要包含了命题“”的否定是，已知集合，那么，函数的零点是，“”是“”的，已知集合，若，则实数的值为，已知集合，若，则的值可能是，对于实数，下列命题为假命题的有等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟考试满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
2.已知集合，那么（）
A. B. C. D.
3.函数的零点是（）
A. B.1，2 C. D.
4.“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知集合，若，则实数的值为（）
A.2 B. C.2或 D.4
6.对于任意实数，不等式恒成立，则实数取值范围为（）
A. B. C. D.
7.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（）
A.
B.
C.若，则
D.整数属于同一“类”的充分不必要条件是“”
8.在数学中，对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知集合，若，则的值可能是（）
A. B. C.0 D.2
10.对于实数，下列命题为假命题的有（）
A.若，则.
B.若，则.
C.若则.
D.若，则.
11.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（）
A.
B.
C.若不等式的解集为，则
D.若不等式的解集为，且，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，若，则实数的取值范围是__________.
13.研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________.
14.已知正数满足，则的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
设全集为，集合.
（1）分别求；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
（1）已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围.
（2）已知，且，求的最小值.
17.（本小题满分15分）
已知集合且.
（1）若“命题”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
近日，工业部发布的重大技术装备推广应用指导目录中，国产的氟化氪光刻机和氟化氩光刻以套刻的惊人精度亮相，标志着中国在半导体制造领域的重大突破.此次突破的背后，是中国科研人员的不懈努力与自主创新.长沙某半导体企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出.范围；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知集合为非空数集，定义：.
（1）若集合，直接写出集合，
（2）若集合，且，求证：；
（3）若集合，记为集合中元素的个数，求的最大值.
长沙市明德中学2024年下学期高一年级第一阶段检测
数学答案
一､
三､
四､
15.【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1）因为，则，
可得或，所以或
（2）因为，可知，且，
可得，解得，所以实数的取值范围为
16.【答案】（1）；（2）10.
（1）由得，
则.
当且仅当即时取到最小值16.所以若恒成立，则.
（2）由，得，所以，
所以，
当且仅当，结合即时，等号成立.故的最小值为10.
17.【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，所以
命题是真命题，可知，
因为，
，故的取值范围是.
（2）若是的充分不必要条件，得是的真子集，，
，解得，故的取值范围是.
18.【答案】（1）125.（2）存在，.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，整理得，解得，
因为且，所以，故，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人.
（2）由条件（1）研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以得，整理得；
由条件（2）由技术人员年人均投入不减少，得，解得；
假设存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值23，所以，
所以，即，即存在这样的满足条件，其范围为.
19.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）1350
【详解】（1）根据定义：所以；
（2）由于集合，且，所以也只有四个元素，即，所以其余的则应满足，所以，即；
（3）设，其中，不妨设，
则，所以，
因为，
因为，所以中最小的元素为0，最大的元素为，
，所以，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，则，
，依题意有，解得，
故的最小值为675，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为1350.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
B
D
C
C
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
CD