江苏省响水县2023_2024学年高二数学上学期期中试卷含解析

这是一份江苏省响水县2023_2024学年高二数学上学期期中试卷含解析，共10页。
2．答题前务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求得倾斜角.
【详解】由已知，故，设直线倾斜角为
所以，又因为
所以
故选：D
2. 抛物线的焦点到原点的距离为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得．
【详解】由题意，，所以焦点为，其到原点距离为．
故选：B．
3. 已知函数（是导函数），则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
4. 已知数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意代入计算可得数列是周期为3的周期数列，即可得.
【详解】根据并利用可得，
，
，，…
所以可得数列是周期为3的周期数列，
即.
故选：D
5. 若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
直线的斜率为，
所以由题可知，，
所以双曲线的离心率为，
故选:C.
6. 已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.
【详解】明显数列和数列均为等差数列
令，可得，
则，
则数列为等差数列，且，公差为，
所以的前项的和为.
故选：C.
7. 已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得.
【详解】设，则，
整理得，
联立消去二次项得公共弦所在直线方程，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为1，
所以公共弦长为.
故选：A
8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.
【详解】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得，
因为，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选的对得2分，选错的得0分）
9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. 的最大值为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得出，从而可判断数列的单调性，再结合等差数列的前项和公式判断各选项．
【详解】是等差数列，则，又，∴，
所以，是递减数列，
从而中最大，，
故选：AC．
10. 已知圆，直线．则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆有两个交点
C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D. 若，则圆与圆恰有三条公切线
【答案】BD
【解析】
【分析】直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，判断A，由定点在圆得直线与圆位置关系，判断B，求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C，由圆心距离判断两圆位置关系后判断D．
【详解】直线的方程整理为，
由得，所以直线过定点，A错；
又，即定点在圆内，因此直线与圆相交，有两个交点，B正确；
时直线方程为，圆心到直线的距离为，圆半径为2，，
因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，
因此只有2个点到直线的距离等于1，C错；
时，圆的标准方程为，圆心为，半径为3，
两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确，
故选：BD．
11. 在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设过焦点的直线方程为设直线：，，，
联立直线与抛物线方程得消元得，
由韦达定理可得，，所以，
又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确；
由知，解得，
所以，故选项C正确；
，故选项D正确；
故选：BCD.
12. 已知数列满足，则（ ）
A. 当且时，为等比数列
B. 当时，为等比数列
C. 当时，为等差数列
D. 当，且时，的前n项和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等差数列，等比数列的定义判断ABC，利用裂项求和来计算D.
【详解】对于A：当且时，，数列是公比为2的等比数列，A正确；
对于B：当，即时，数列不为等比数列，B错误；
对于C：当时，，等式两边同除得，数列是公差为的等差数列，C正确；
对于D：当，，得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，
所以，
的前n项和为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 若直线与直线平行，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用两直线平行，通过分类讨论即可得出的值.
【详解】由题意，
直线与直线平行，
当时，直线与直线不平行，舍去，
当时，，解得：，
综上，.
故答案为：.
14. 圆在点处切线的一般式方程为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程．
【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2，
切线方程为，即．
故答案为：．
15. 两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可．
【详解】设数列，的公比分别为，
则时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
联立，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意.
所以.
故答案为：.
16. 已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得．
【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，又由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
四、解答题(第17题10分，其余每题12分，共70分)
17. 已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法求出即可；
（2）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再分直线斜率是否存在两种情况讨论即可.
【小问1详解】
设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
圆的标准方程为，
圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，解得，
当直线的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
18. 已知数列的前项和为，且.
（1）求通项公式
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用与的关系式进行通项公式的求解；
（2）由通项公式可知，当时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当时，可通过前8项的变号来进行计算即可.
【小问1详解】
由，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由，可得，则，
令，可得，
当时，可得，
当时，可得
，
因为，所以，
所以.
注意：分类标准和，都可以.
19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
（1）求直线的一般式方程；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交．
（2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得．
【小问1详解】
因为弦被点平分，所以
设交点坐标，
则，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的一般式方程为
联立椭圆与直线方程得，直线与双曲线相交，满足题意．
所以直线方程为，
【小问2详解】
由（1）知：，
由（1）得，
，
所以．
20. 记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若成立，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用得出关于的递推关系，从而根据等比数列的定义得证；
（2）由分组求和法求得后，解不等式得结论．
【小问1详解】
由可得，即，
即，而，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，即
，
由可得，整理可得，解得，
因为，所以的最小值为5．
21. 已知椭圆焦距为，离心率为.
（1）求曲线方程；
（2）过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最大值.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
所以，椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：当直线与轴重合时，、、三点重合，不符合题意，
易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，
由韦达定理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22. 从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案.
（2）设，，直线，联立直线与双曲线的方程可求出的范围，再根据根与系数的关系可得③，设直线方程结合③求解，即可证明点在定直线上.
【小问1详解】
令，代入双曲线方程可得，所以设，，
因为，所以，即，所以.
因为，所以，
所以，，，
所以双曲线的方程为.
小问2详解】
设，，直线，
联立可得，，
由可得或，
所以，，
直线①
直线②
③
由①÷②可得
把③代入上式化简可得，
解得，所以点在定直线上.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.