北京市西城区2024_2025学年高一数学上学期阶段练习一10月试题含解析

这是一份北京市西城区2024_2025学年高一数学上学期阶段练习一10月试题含解析，共12页。试卷主要包含了 已知集合，则， 命题的否定是， 下列结论正确是， “”是“”的， 已知，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合，
根据集合交集的概念及运算，可得.
故选：A.
2. 命题的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】命题的否定是.
故选：B
3. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图知，阴影部分是两集合并集的补集，将此关系用符号表示出来，对照四个选项得出正确选项.
【详解】由题意如图，阴影部分是的补集，其对应的集合为,
由集合的运算性质可得
故选：C
【点睛】本题考查韦恩图在集合基本运算中的应用以及集合的运算性质，属于基础题.
4. 下列结论正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可.
【详解】对A，若，，则，故A错误；
对B，若，则，但，故B错误；
对C，若，则，但，故C错误；
对D，若，则，故，即，故D正确.
故选：D
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式得到不等式的解，根据推出关系可得结论.
【详解】由得：，解得：；
由得：或；
或，或，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质计算即可.
【详解】由，得，
所以.
故选：D
7. 若命题“，”为假命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上有解，构造函数求解最小值即可.
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，即在上有解，
即在上有解，记，，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以实数可取的最小整数值是.
故选：A
8. 对集合 的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下： 按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果. 例如：集合的“交替和”为6-4+2-1=3,集合的“交替和”为8-3=5,集合{6}的“交替和”为 6,则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义及子集的定义即可求解.
【详解】由题意得：集合的非空子集中,除去集合,还有个非空集合,将这个子集分成两类:
第一类：包含的子集；第二类： 不包含的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系： ，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射
设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为 .
故选: C.
二､填空题（每小题4分，共24分）
9. 集合可以用列举法表示为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解.
【详解】当时，可得，不符合题意；
当时，可得，符合题意；
当时，可得，不符合题意；
当时，可得，符合题意；
当时，可得，符合题意；
当时，显然不成立，
当时，可得，不符合题意，
所以集合可以表示为集合.
故答案为：.
10. 方程组的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用消元法，准确计算，即可求解.
【详解】由方程，可得，
将代入方程，可得，
整理得，解得或，
当，可得；当时，可得
所以不等式的解集为.
故答案为：.
11. 若关于的不等式的解集为，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解.
【详解】由关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两个实数根，
可得，解得，所以.
故答案为：.
12. 为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，某校计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成.图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为和（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为__________.

【答案】50
【解析】
【分析】设，计算图书馆精品阅读区面积，然后计算图书馆精品阅读区面积最小时的值即可.
【详解】依题意，设，得，
图书馆精品阅读区面积为
，
当且仅当时，等号成立，此时，，解得.
故答案为：50.
13. 已知集合，且中有2个子集，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的解法，求得集合，根据题意，得到中只有1个元素，结合集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由分式不等式的解法得，不等式，解得，即，
又因为，且中有2个子集，即中只有1个元素，
可得或，此时，符合题意，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
14. 设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据中的元素的和为6可得的元素，从而可求中的元素，从而可得各元素的积，注意分类讨论.
【详解】因为，而，故，
所以，
若，则或（舍），此时，
故中的所有元素之积为.
若，则，这与或，
这与中的所有元素之和为6矛盾.
若，则或（舍），此时，
这与中的所有元素之和为6矛盾.
若，则，则，
即，无解.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对于集合中元素的确定问题，注意利用元素的互异性、确定性和无序性来分类讨论.
三､解答题（共44分）
15. 已知集合.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将，代入集合，由补集、并集的定义求解即可；
（2）若，分和两种情况求解的取值范围.
【小问1详解】
时，，
又，
，.
小问2详解】
若，
当时，则，解得，
当，则，解得，
综上：实数的取值范围为.
16. 设，求证.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合，得到，即可得证.
【详解】由，
因为，可得，
所以，即，所以.
17. 已知是方程的两个不相等的实根，求值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合一元二次方程的根与系数的关系，得到，由，即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）由，即可求解.
【小问1详解】
解：因为是方程的两个不相等的实根，
可得，且，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知：，
则.
【小问3详解】
解：由（1）知：，
则.
18. 已知关于的方程.
（1）若该方程解集中只有一个元素，求的值；
（2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1）或
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）当时，转化时，恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由关于的方程，
当时，方程即为，解得，满足题意；
当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的值为或.
【小问2详解】
解：当时，不等式为，即，
由时，恒成立，即为时，恒成立，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
即实数的取值范围为.
【小问3详解】
解：由不等式，可化为，
因为，可得，即为，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为，
综上可得：
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【附加题】
19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
（2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
（3）若为正整数，求：“完美集”.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可；
（2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
（3）设中，得到，分，，进行分类讨论，
【小问1详解】
由，，则集合是“完美集”，
【小问2详解】
若是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），
所以，又均为正数，
所以至少有一个大于2.
【小问3详解】
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为.
【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.