北京市2024_2025学年高一数学上学期10月阶段考试试卷含解析

这是一份北京市2024_2025学年高一数学上学期10月阶段考试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分
一、选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分）
1. 已知集合，集合，那（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由于，
所以.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定：将存在变任意并否定原结论，即可写出否定形式.
【详解】特称命题的否定为全称命题，
∴“，”的否定是，.
故选：B.
3. 已知全集，集合，，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A的补集，再与集合求并集．
【详解】或，，
所以或 ，
故选：A．
4. 与为同一函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．
【解答】由题意可知：的定义域为，
但定义域为，、的定义域均为，
故ACD错误；
定义域为，且，所以与是同一个函数，故B正确；
故选：B.
5. 命题“”是命题“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件判定方法，即可求解.
【详解】当时，，所以，
故命题“”是命题“”的充分条件，
反之，当时，或，
故故命题“”是命题“”的非必要条件，
所以命题“”是命题“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式移项通分得到，再转化为二次不等式即可得答案.
【详解】，即，解得：，
不等式的解集为，
故选：C.
7. 设全集是实数集R，，，则阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由Venn图可知：阴影部分所表示的集合为，结合集合间的运算求解.
【详解】由Venn图可知：阴影部分所表示的集合为，
因为，，
则，所以.
故选：B.
8. 已知，则的最小值为（ ）
A. 8B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
9. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】逐一检验，对A，取，判断可知；对B， ，可知；对C，利用作差即可判断；对D根据不等式同向可加性可知结果.
【详解】对A，取，所以，故错误；
对B，由，，所以，故正确；
对C, ，
由，，所以，所以，故正确；
对D，由，所以，又，所以
故选：A
10. 若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分母恒正可将不等式转化为对恒成立，结合二次函数图象可得，解不等式求得结果.
【详解】对恒成立
原不等式等价于对恒成立
即对恒成立
，解得：
的取值范围为
故选
【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够将根据二次函数图象得到判别式小于零.
11. 我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A. 6钱B. 7钱C. 8钱D. 9钱
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设买大竹子，每根单价为，可得，由，解不等式组即可求解.
【详解】依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.
12. 对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设，，其中，则的“绝对交错和”为；当时，的“绝对交错和”为.若数集，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意列出所有非空子集，然后逐个求出“绝对交错和”并求和，即可得到答案.
【详解】
的所有非空子集有：、、、、
、、、、、、
、、、、
若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；
若则的“绝对交错和”为；
的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为：
故选：D
第二部分
二、填空题：（本题有8道小题，每小题5分，共40分）
13. 函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.
【详解】解：根据题意，要使函数有意义，
则需满足，解得且.
所以函数的定义域为：
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题.
14. 设，则不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：，故不等式的解集为.
【点睛】解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，再进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.
15. 已知，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由根式性质求定义域得集合A，根据二次函数性质求值域得集合B，再应用集合的交运算求结果.
【详解】由题设，，
所以.
故答案为：
16. 若存在使得，则m可取的一个值为_____________．
【答案】（内的任一值均可）
【解析】
【分析】根据题意可知：函数有零点，则，解之即可，在所得到的范围内任取一个值即可求解.
【详解】因为存在使得，
也即函数有零点，则有，解得：，
所以可取内的任意一个值，取，
故答案为：.（内的任一值均可）
17. 不等式的解集是，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解集得到2+3=a2×3=-b，解出值，代入不等式解出即可.
【详解】不等式的解为,
一元二次方程的根为,,
根据根与系数的关系可得:2+3=a2×3=-b,所以;
不等式即不等式,
整理,得，即(2x+1)(3x+1)1
【解析】
【分析】解出方程的两根，即可得解不等式的解集.
【详解】因为，方程的两根为和，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
19. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投______万元，获得总利润为______万元.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值，从而求出总利润.
【详解】设李明获得的利润为万元，则，
则
，
当且仅当，因为，即当时，等号成立.
此时总利润为.
故答案为：；.
20. 设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③
【解析】
【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论
和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明.
【详解】对于①：，所以，所以，
又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；
对于②：，即，
所以，所以必为偶数，又，
当时，，不符合，
所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；
对于③：若{思想政治，物理，生物}，则，
所以，③正确；
对于④：当{物理，地理，历史}时，
，
满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.
故选：①③
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.
三、解答题（本题有5小题，共62分）
21. 已知集合
（1）求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集和并集的定义求解即可；
（2）利用集合的包含关系列不等式即可
【小问1详解】
已知集合
∴，
【小问2详解】
因为
若，则，
则实数a取值范围是.
22. 已知集合，.
（1）当时，求：
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接由集合的运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，且，然后分与讨论，即可得到结果.
【小问1详解】
当时，，所以或，
又，所以或.
【小问2详解】
因为“”是“”必要非充分条件，则，且，
当时，则，即；
当时，，等号不同时成立，解得，符合题意；
综上所述，m的取值范围为.
23. 某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如下图所示．

（1）用x表示两个养殖池的总面积y，并求出x的取值范围；
（2）当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？
【答案】（1），
（2）30米， 1215平方米．
【解析】
【分析】（1）根据题意求出矩形养殖场的长和宽，即可求得面积的表达式，继而求得x的取值范围；
（2）结合y的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
依题意设温室的一边长度为x米，得温室的另一边长为米，
则矩形养殖池长为米，宽为米，
因此养殖池的总面积，
因为，
所以，所以取值范围为．
【小问2详解】
，
当且仅当，即时上式等号成立，
当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．
24. 已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有两个不等实数根，求的取值范围；
（2）若方程两根之差的绝对值为，试求的值；
（3）若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）或；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由求参数范围即可；
（2）由，结合韦达定理列关于m的方程，即可求参数值.
（3）令，则有，即可求参数范围.
【小问1详解】
由题设，
所以或.
【小问2详解】
若方程两根为，则，且，，
所以，即，
所以或，经检验满足，故或.
【小问3详解】
若，则，可得或.
25. 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.
【答案】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；（2）见解析；（3）①见解析；②最小值是7
【解析】
【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论；
（2）不妨设，若去掉的元素为，则有①，或者②；若去掉的元素为，则有③，或者④，求解四个式子可得出矛盾，从而证明结论；
（3）①设集合所有元素之和为，由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况，分析可得集合中元素个数为奇数；②结合（1）（2）问，依次验证当时，当时，当时集合是否为“可分集合”，从而证明结论.
【详解】（1）集合不是“可分集合”，集合是“可分集合”；
（2）不妨设，
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②；
若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④.
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾.
因此当时，集合一定不是“可分集合”；
（3）①设集合所有元素之和为.
由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数.
如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数.
如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数.
综上所述，集合中元素个数为奇数.
②当时，显然任意集合不是“可分集合”.
当时，第（2）问已经证明集合不是“可分集合”.
当时，集合，因为：
3+5+7+9=11+13，1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+3+5+11=7+13，
1+9+11=3+5+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，
则集合是“可分集合”.
所以集合中元素个数的最小值是7.
【点睛】本题考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力、分析能力，属于难度较高的创新题.