北京市2024_2025学年高三数学上学期10月诊断性练习试题含解析

这是一份北京市2024_2025学年高三数学上学期10月诊断性练习试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.
【详解】全集，集合，
所以.
故选：D
2. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解.
【详解】由于“，”为假命题，
故其否定为“，”为真命题，
则，得，
故选：B
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
4. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.
【详解】，而，则，即，
所以.
故选：B
5. 把函数的图象向左平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.
【详解】把函数的图象向左平移个单位后，，
再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得.
故选：C
6. 函数，则（ ）
A. 若，则为奇函数B. 若，则为偶函数
C. 若，则为偶函数D. 若，则为奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.
【详解】的定义域为，
对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；
对B：若，，
，故为偶函数，B正确；
对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；
对D：若，，
若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；
故选：B
7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】函数的定义域是，
，
令解得，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
而，
故要使，则需或.
综上所述，不等式的解集为.
故选：D
8. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
（参考数据）
A. 5B. 7C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得的取值范围，进而求得的最小整数值.
【详解】当时，，
所以，由得，
，
所以的最小整数值为.
故选：B
9. 若为定义在上的函数，且关于原点对称，则“存在，使得”是“函数为非奇非偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由可得且，故可得是函数y=fx为非奇非偶函数的充分条件，举反例说明反之不成立.
【详解】由得且，
由前式可得不是偶函数，由后式可得不是奇函数，由此可得是非奇非偶函数，
即是函数y=fx为非奇非偶函数的充分条件；
反之不成立，举例如下：当时，，当时，.
当时，有，而，，所以不是奇函数；
又当以及时，都有，所以不是偶函数，
而对于，都有成立，
所以若函数y=fx为非奇非偶函数不能得到.
故是函数y=fx为非奇非偶函数的充分不必要条件.
故选：A
10. 已知数列的前项和为，且，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
①；
②若，则；
③若，则；
④若数列是单调递增数列，则的取值范围是.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，两式相减得到，进而可得 ，可判断①，根据的值可判断是否为等差，再根据等差数列得前项和公式即可求解②③；根据条件得，，再根据数列单调递增，则必有，且，求解即可得出的取值范围．
【详解】因为，当，，
两式相减得，所以，
两式相减得，故①错误，
当时，令，则，，得，所以，
令，则，，得，所以，则，所以，
故奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，
则
，所以②正确；
当时，令，则，，得，所以，
令，则，，得，
故偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以为首项，2为公差的等差数列，
则
，所以③正确；
由于，，，
则，
又数列单调递增，则必有，且，
所以，且，解得，
所以的取值范围是，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（每题5分，共25分）
11. 函数的定义域是____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：.
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.
【详解】由三角函数的定义可知,
所以
故答案为：.
13. 已知函数（）的部分图象如图所示.

①函数的最小正周期为______；
②将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据函数图象得出函数的最小正周期，再根据周期得出再代入点得出，最后平移得出解析式，令函数为奇函数得出即可得出的最小值.
【详解】因为函数（）的图象，可得,
所以,所以;
,所以函数，
函数过点得,,所以，
所以,
将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数为奇函数，
所以,,
则的最小值是.
故答案为：.
14. 已知,其中.若,则的取值范围是__________;若,则的取值范围是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】转化为,则求出的最大值即可;,根据单调性求出的最小值即可.
【详解】,
因为的对称轴为,所以当时,,
则;
,
因为的对称轴为,所以当时,为增函数,
则当时,,
即.
故答案为：;.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①任意，函数的最大值与最小值的差为2；
②存在，使得对任意，；
③当时，存，，使得对任意，都有；
④当时，对任意非零实数，.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】②
【解析】
【分析】①举一例说明最大值与最小值的差不为2，②令，可证明，③证明函数的最小正周期不能小于，④例如时，举一例说明，从而判断各命题的真假．
【详解】，
①当时，，最大值是1，最小值是0，差为1，①错；
②当时，，
，②正确；
③，，它的最小值正周期是，
若，，，，③错；
④当时，时，，
，
即，④错，
所以正确的只有②，
故答案为：②．
三、解答题（共85分）
16. 已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数 在上的单调递增区间.
【答案】（1）1 ； （2）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）代入x=0，求出的值即可；（Ⅱ）化简，根据正弦函数的性质求出函数的单调区间即可．
【详解】（Ⅰ）
（Ⅱ）因为，所以，
即函数的定义域为
=
==
令
解得
令，得到，
因为
所以在区间上单调递增区间为
【点睛】本题主要考查函数求值，考查了三角函数式的化简以及正弦函数的性质，考查函数的单调性问题，属于中档题．
17. 已知为数列前项和，满足，.数列是等差数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设，且，求.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式；
（2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和；
（3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解
【小问1详解】
当时， 得.
由已知①
当时， ②
①-②得.
所以
所以数列为等比数列，且公比为
因为，所以.
设数列bn公差为，

由得
所以.
综上，数列的通项公式为；；数列的通项公式为：.
【小问2详解】
设，前项和
【小问3详解】

即，即，解得
18. 在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求及的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）选择①，，，选择②，，
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及倍角公式求得，从而求得；
（2）选条件①：由正弦定理及余弦定理解得，代入面积公式求解.选条件②：由余弦定理求出值，再利用三角形面积公式即可；选条件③：由余弦定理及基本不等式得到矛盾.
【小问1详解】
由正弦定理得，
代入得，
所以，
因为，所以
所以，所以，.
【小问2详解】
选条件①：
因为，
由正弦定理得，由余弦定理得，
解得，所以．
由解得，解是唯一的.
所以，.
选择条件②：由及余弦定理得，
即，解得或（负舍），
此时有一解，所以，
所以，.
选条件③：由及余弦定理得，
所以，故.
这与矛盾，故不成立.
所以条件③不满足.
19. 已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：直线是曲线的切线；
（Ⅲ）写出的一个值，使得函数有三个不同零点（只需直接写出数值）
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）当时，对函数求导，通过判断导数与0的关系即可得单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义可令，解得，而，通过直线不经过，即可得最后结果；（Ⅲ）取的值为．
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，
当a=-1时，
所以
令，得
当x变化时，，的变化情况如下表：
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）因为
令，解得
因为，直线不经过
而，
所以曲线在点处的切线为
化简得到
所以无论a为何值，直线都是曲线在点处的切线
（Ⅲ）取a的值为-2.
这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数的增减性研究函数的零点问题，是中档题．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；
（3）试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解；
（3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解.
【小问1详解】
当时，，
，
所以曲线在点处切线的斜率，又，
所以曲线在点处切线的方程为即.
【小问2详解】
在区间上恒成立，即，对，
即，对，
令，只需，
，，
当时，有，则，
在上单调递减，
符合题意，
当时，令，
其对应方程的判别式，
若即时，有，即，
在上单调递减，
符合题意，
若即时，，对称轴，又，
方程的大于1的根为，
，，即，
，，即，
所以函数在上单调递增，，不合题意.
综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）知，当时，，在区间上恒成立，
即，对，
取代入上式得，化简得.
21. 数列有100项，，对任意，存在，，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
（1）若，，求可能的值；
（2）数列中不存在具有性质的项，求证：是等差数列；
（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用，，表示.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据，逐一求出即可；
（2）根据题设条件和等差数列的定义即可得证.
（3）去除具有性质P的数列an中的前三项后，数列an的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求即可．
【小问1详解】
数列an有100项，，
对任意，存在，，
所以若，，则当时，，
当时，，则，或，
当时，，则，或，
或，或，
所以可能的值：
【小问2详解】
，，，
当时，，则满足了性质P，矛盾，
当时，，不矛盾，所以，
以此类推，，
当时，分别等于、、、……、，则满足了性质P，矛盾.
所以只能，即，不矛盾，即数列an是等差数列，
【小问3详解】
将数列an中具有性质P的三项去掉，得到一个新的数列bn，，
且中没有满足性质P的项，
由（2）可知，数列bn是等差数列，
所以，
又因为数列an中去掉的三项和为c，所以；
【点睛】方法点睛：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.x
-1

+
0
-
0
+
极大值
极小值