北京市2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份北京市2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了 如图所示，用符号语言可表述为等内容，欢迎下载使用。

A ，，B. ，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】A
【解析】
【分析】利用图形，表示为点，线，面的符号语言.
【详解】由图形可知，，，或表示为，.
即A正确.
故选：A
2. 如图，是的直观图，其中，，且，那么的面积是（ ）
A. B. 1C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则得出的性质，再计算面积
【详解】由题意，，，
所以．
故选：B．
3. 已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的全面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理得出，进而由面积公式得出全面积.
【详解】由题意可知，该圆锥的底面半径为，
则圆锥的全面积为.
故选：B
4. 已知直线a与平面，能使充分条件是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.
【详解】对①，若，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；
对②，若，则，平面的平行具有传递性，故②正确；
对③，若，平行于同一直线两平面可以相交，故③错误；
对④，，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.
综上：②④正确，
故选：D.
5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【详解】
如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
6. 如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，三点共线B. ，，，不共面
C. ，，，不共面D. ，，，共面
【答案】A
【解析】
分析】连接，，易证平面，平面，由公理3，可知，，三点共线.
【详解】如图，连接，，
因为，
所以，，，四点共面，
所以平面.
因为，
所以平面.
又因为平面，
所以点在平面与平面的交线上.
同理，点，也在平面与平面的交线上，
所以，，三点共线，故A正确，BC错误，
因为
所以四点共面，
又，平面，
所以直线平面，
所以平面，故D错误.
故选：A.
7. 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知斜高，进而可得侧面积.
【详解】如图：
正四棱锥的高PO，斜高PE，
底面边心距OE组成直角，
由题意可知：，则斜高，
所以该四棱锥的侧面积为.
故选：A.
8. 在正方体中，为的中点，为棱上的动点(不包括端点)，过点的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ）
A. 四边形B. 等腰梯形C. 五边形D. 六边形
【答案】D
【解析】
【分析】假设正方体的棱长，根据的长度不同，分类讨论，可得结果.
【详解】不妨设正方体的棱长为，
当，截面为四边形；
如图
特别的，当时，截面为等腰梯形；
如图
截面为五边形，不可能为六边形.
如图
故选：
【点睛】本题考查空间几何体的应用，属基础题.
9. 正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案．
【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，
设其外接圆的半径为，则，即，
由，得，
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的表面积为，故选C．
【点睛】本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．
10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的是（ ）
①AC⊥BE
②平面ABCD
③的面积与面积相等
④三棱锥A-BEF的体积为定值

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质判断①，利用线面平行的判定定理判断②，利用同底不同高判断③，求出体积判断④.
【详解】
①连接，在正方体中，
平面，平面，则，
又，平面，平面，
则平面，平面
所以，故①正确；
②由于， 平面，平面，
所以平面，故②正确；
③由于和的底边都是，
的高即点到的距离，即，
的高即点到的距离，
过作，垂足为，
由平面，平面，则平面平面.
平面，平面平面，
则平面.
所以，又平面，则，
连接，由于在中，是斜边，
即，所以和的面积不相等，故③错误；
④设BD交AC于O，由于平面，
即平面，垂足为，
则点到平面（即平面）的距离为，
已知，则，
所以三棱锥的体积为为定值，
故三棱锥的体积为定值，故④正确.
综上所述，正确的结论序号是①②④.
故选：B.
二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为__．
【答案】
【解析】
【分析】把正三棱柱沿侧棱剪开再展开，求解直角三角形即可得到答案．
【详解】正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形，
矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程．
因此蚂蚁爬行的最短路程为．
故答案为：．
12. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．
【答案】AB，A1B1
【解析】
【分析】根据线线垂直的定义或判定来判断即可.
【详解】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．
故答案为：AB，A1B1.
13. 如图，在正方体中，，分别是中点，则异面直线与所成角大小为__________.
【答案】60°
【解析】
【分析】由得出异面直线与所成角为，再由正三角形的性质得出异面直线与所成角大小.
【详解】分别是中点，所以有而，因此
异面直线与所成角为，在正方体中，，所以
故答案为：60°
14. 圆锥的底面半径为，母线与底面成45°角，过圆锥顶点S作截面SAB，且与圆锥的高SO成30°角，则底面圆心O到截面SAB的距离是______.
【答案】
【解析】
【分析】确定高与截面所成的角，如图作出点到的垂线，并说明的长是点到平面的距离，然后在直角三角形中求得点面距．
【详解】如图，底面直径，
平面，平面，则，
又，平面，则平面，
平面，所以平面平面，
所以在平面的射影是，所以是与平面所成的角，即，
又是母线与底面所成的角，即，
所以在直角中，，
作，垂足为，则平面，且．
故答案为：．
15. 如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：
①恒有； ②恒有平面；
③三棱锥的体积的最大值为； ④存在某个位置，使得平面平面.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据原图形判断①，根据面面平行得出线面平行判断②，结合面面垂直及体积公式判断体积最大值得出③，应用面面垂直的性质定理及反证法得出④.
【详解】矩形ABCD中, ,①正确；
取CD中点H，连接MH，BH，M和H分别是，CD的中点，，在平面外，
平面，E是矩形ABCD的AB边中点，，，，
在平面外，平面，又，平面平面，
平面，，②正确；
取的中点，连接，如图所示：
当平面平面时，到平面的距离最大.
因为，为中点，所以.
又因为平面平面，所以.
，所以.
所以四棱锥体积最大值为，
所以四棱锥体积最大值为，
M为AC的中点，三棱锥的体积的最大值为故③正确.
平面平面,平面平面平面,
平面,,,④错误
故答案为：①②③.
三､解答题：本大题共3小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．
（1）求证：平面PAC；
（2）求证：
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证；
（2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证.
【小问1详解】
∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，
∴，
又∵平面，平面；
∴平面．
【小问2详解】
∵底面，底面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴．
17. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是 的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：A1C∥平面；
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明AD⊥平面BB1C1C，得出平面AB1D⊥平面BB1C1C；
（2）连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE，易证 DE∥A1C，故而A1C∥平面AB1D；
（3）根据 求出棱锥的体积
【详解】（1）证明：由已知为正三角形，且D是BC的中点，所以．
因为侧棱底面，，所以底面．
又因为底面，所以.而,所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）证明：连接，设，连接．
由已知得，四边形为正方形，则为的中点.
因为是的中点，所以．
又因为平面AB1D，平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D．
（3）由（2）可知A1C∥平面AB1D．，所以与到平面AB1D的距离相等，
所以．
由题设及，得，且．
所以，
所以三棱锥的体积为．
【点睛】本题考查了线面平行与面面垂直的判定，考查棱锥的体积计算；在证明线面平行时，一定要强调直线不在平面内.
18. 如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．

（1）当是中点时，求证：∥平面；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）存在；
【解析】
【分析】（1）由三角形的中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）取中点，连接，由是正三角形，可得，再由菱形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；
（3）取中点，连接，可得平面，然后过作∥交于点，证得平面，再利用平行线的性质可求得的值.
【小问1详解】
证明：因为点是中点，点是中点，所以∥．
因为平面平面，
所以∥平面．
【小问2详解】
证明：如图，取中点，连接．
因为侧面正三角形，所以．
因为底面是菱形，且，
所以是等边三角形．所以．
因为平面，
所以平面，因为平面，所以．
【小问3详解】
如图，取中点，连接．
因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，
所以，所以．
又，AB、BE在面ABE内，
所以平面．
过作∥交于点．
因为∥∥，所以点平面．
所以平面，
因为平面，所以，
因为为的中点，∥，
所以．
所以．