湖南省长沙市长郡中学2025届高三下学期高考数学押题试卷含答案

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这是一份湖南省长沙市长郡中学2025届高三下学期高考数学押题试卷含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数（）
A．1 B． C．2 D．
3．已知向量， .若，则的值为（）
A．1 B． C． D．
4．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（）
A． B． C． D．
5．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数
据，，，，，的方差为，则（）
A． B．
C． D．与的大小关系无法判断
6．我们曾学习过碳 14 的半衰期约为 5730 年（即碳 14 大约每过 5730 年衰减为
原来的一半），即经过年后，碳 14 的含量（为碳 14 的初始含量，
为常数），则碳 14 含量由原来的衰减为大约需要经过（）
（参考数据：）
A．2292 年 B．2456 年 C．2674 年 D．2838 年
7．已知是公差不为 0 的等差数列，其前项和为，则“ ， ”
是“ ”的（）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若正实数，满足，则的最小值为（）
1
A．1 B． C． D．2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9．下列说法正确的是（）
A．数据 8，6，4，11，3，7，9，10 的上四分位数为 9
B．若，，且，则 C，D 相互独立
C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量
中在的概率越大
D．若样本数据的平均数为 4，的平均数为 22，则样本
数据，9 的方差为 20
10． 2025 年春节档共上映 6 部电影全国电影票房达 95.1 亿元，刷新了中国影
史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探 1900》分居票房第一、
第二的宝座. 小数想要观看这 6 部电影，则（）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探 1900》放在相邻次序观看，则共有 120 种
观看顺序
B．若《唐探 1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有 360 种观看顺序
C．若将 6 部电影每 2 部一组随机分为 3 组，则共有 90 种分组方式
D．若将 6 部电影随机分为 2 组，则共有 31 种分组方式
11．曲线的形状类似希腊字母“ ”，其方程为 . 若点在曲线
上，，则（）
A．当在第一象限时，
B．当在第四象限时，
C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于 6
D．直线与曲线恰有 4 个公共点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12．若，均为单位向量，且，则．
13．已知三棱锥的各顶点均在半径为 2 的球球面上，，
，，则三棱锥体积的最大值为．
14．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂
直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为
. 已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两
点，动点在直线上. 若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，
则椭圆离心率的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15．（本小题满分 13 分）
已知数列满足，，且对任意的，，都有
.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证： .
16．（本小题满分 15 分）
如图，在四棱锥中，三角形是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
，，，E 为 PD 的中点.
(1)证明：平面 PAB；
(2)若，求直线 CE 与平面 PBC 的夹角的余弦值.
3
17．（本小题满分 15 分）已知函数 .
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
18．（本小题满分 17 分）“你好！我是 DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写
代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek 从横
空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI 大模
型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对 DeepSeek 的
使用情况，随机调查了 200 人，得到如下数据：
单位：人
使用情况
学历合计
经常使用不经常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合计 115 85 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为 DeepSeek 的使用情况与学历
有关？
(2)某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段
共有 3 道题目，甲、乙同时依次作答，3 道试题作答完毕后比赛结束.规定：若
对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得 0 分；若一人答对另一人答错，答
对的得 10 分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独
立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答
每道题的概率分别为，．
（ⅰ）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ⅱ）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率．
附：，其中．
4
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分 17 分）
二次函数的图象是抛物线，现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线，
举例如下: 二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；
抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数
的焦点坐标为，准线方程为 .
(1)求二次函数的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数的焦点坐标和准线方程；
(3)设过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与直线
交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点 . 是否存在
定点，使得三点共线? 若存在，请求出定点的坐标; 若不存在，请说
明理由.
5
湖南省长郡中学 2025 年高考数学押题试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D D A C B C C BD BD BC
12．
13．
14．
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）依题意，对任意的，，都有，
故对任意的，，，
所以对任意的，，，即为定值，所以数列是公
差为 2 的等差数列，
据，，得，，
所以，解得，故，所以
（2）由（1）可知，，
所以当，，
，又符合上式，所以所以
，故
，因为，，所以
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）取 PA 中点为 F，连接 EF，FB，则，
6
且，从而四边形为平行四边形.
则，又平面 PAB，平面 PAB，则平面 PAB；
（2）如图取 AD 中点为 O，连接 OP，OB.
因三角形是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，，
则 .因，，
则四边形为平行四边形，则，，结合，
则，，结合，则为等边三角形，
得 .又，，则，故 .
又，平面 ADCB，则 .
故如图建立以 O 为坐标原点的空间直角坐标系.
则，
因 E 为 PD 的中点，则 .
从而，， .
设平面 PBC 法向量为，则，
取，设直线 CE 与平面 PBC 的夹角为，
则，从而 .
17．（本小题满分 15 分）
【解】（1）的定义域为，
7
若，则，则在单调递减；
若，则由得 .
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，
当时，取得最小值，最小值为 .
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递
增，所以，，
故没有零点；
③当时，由于，即，
又，
故在有一个零点.
设正整数满足，
则，
故在有一个零点.
综上，的取值范围为 .
18．（本小题满分 17 分）
8
解：（1）零假设为：DeepSeek 的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为 DeepSeek 的使用情况与学历无关；
（2）（ⅰ）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
，
，
，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为 10，20，30，
则，
，
，
所以比赛结束后甲获胜的概率
；
（ⅱ）设 “比赛结束后甲获胜”， “比赛结束后乙答对一道题”，
，
则，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对 1 道题的概率为．
19．（本小题满分 17 分）
9
【解析】（1）二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
（2）二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，
准线方程为；
即二次函数的焦点坐标为，准线方程为
．
（3）由（1）知抛物线可以由抛物线
沿向量平移得到；
先考虑如下问题：过的直线与抛物线的另一个交点为，直线与
直线交于点，过点作 x 轴的垂线交抛物线于点，讨论是否
存在定点，使得三点共线；
设，又，则直线的方程为：，化简得：
，
与直线联立得：，
10
代入得：，
即，
则直线的方程：，
化简得；
当时，恒成立，所以直线恒过定点，即存在定点，使
得三点共线；
故存在定点，使得三点共线．
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