湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三下学期高考数学科目押题试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．全卷满分 150 分，时量 120 分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2，直线 与椭圆 的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
3，角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，将 的终边绕原点顺时针旋转 ，得到
角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4，已知 ，其部分图象如图所示，则 的
解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5，已知直线 y＝kx－k－1 与曲线 C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则 m 的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
6，若函数 与 在区间 上都是减函数，则 的取值范围
（ ）
A． B． C． D．
7，设 f (x)是定义域为 R 的奇函数，f (－1)＝0，当 x>0 时，xf ′(x)－f (x)0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
8，已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
二，多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中,有
多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得部分分.
9，某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了 100 个该配件的质
量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，则(同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表)( )
A.m=0.030
B.样本质量指标值的平均数为 75
C.样本质量指标值的众数小于其平均数
D.样本质量指标值的第 75 百分位数为 85
10，已知双曲线 C： - =1 的左、右焦点分别是 F1，F2，其中 =2c，
过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线的右支交于 A，B 两点，则下列说法中正确的是( )
A.弦 AB 的最小值为
B.若|AB|=m，则△F1AB 的周长为 2m+4a
C.若 AB 的中点为 M，且 AB 的斜率为 k，则 kOM·k=
D.若直线 AB 的斜率为 ，则双曲线的离心率 e∈[2，+∞)
11.在三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AB=3,平面 ABC 内动点 D 的轨迹是集合 M=
{D||DA|=2|DB|}.已知 C,Di∈M 且 Di 在棱 AB 所在直线上,i=1,2,则 ( )
A.动点 D 的轨迹是圆
B.平面 PCD1⊥平面 PCD2
C.三棱锥 P-ABC 体积的最大值为 3
D.三棱锥 P-D1D2C 外接球的半径不是定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12，(1＋2x－3x2)5 的展开式中 x5 的系数为______________．
13，已知正项等比数列{an}共有 2n 项，它的所有项的和是奇数项的和的 3 倍，
则公比 q＝________．
14，从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15，记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知△ABC 的外接圆半
径 R＝2 ，且 tan B＋tan C＝ .
(1)求 B 和 b 的值；
(2)求 AC 边上高的最大值．
16，已知动圆与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝1 外切，同时与圆 C2：(x－4)2＋y2＝81 内切．
(1)求动圆圆心 M 的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线；
(2)若直线 l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线 l 的最大距离．
17，如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是等边三角形，平面 ABB1A1⊥平面 ABC，
A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O 为 AC 的中点．
(1)求证：AC⊥平面 A1BO；
(2)试问线段 CC1 上是否存在点 P，使得平面 POB 与平面 A1OB 夹角的余弦值为
，若存在，请计算 的值；若不存在，请说明理由．
18，某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放 10 个大小
相同的小球，其中 5 个为红色，5 个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽
奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜
色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数 X 的
分布列和数学期望；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数 Y
的分布列和数学期望；
(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择
及简要理由．
19，已知函数 f (x)＝x2ln x－a(a∈R)．
(1)求函数 f (x)的单调区间；
(2)若函数 f (x)有两个零点 x1，x2，证明：1＜x1＋x2＜ .
答案
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
答案，A
2，直线 与椭圆 的位置关系为( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】B
【解析】由题意，直线 ，可得直线恒过点 ，
又由 ，所以点 在椭圆 的内部，
所以直线 与椭圆 相交于不同的两点，故选 B．
3，角 的终边与单位圆的交点坐标为 ，将 的终边绕原点顺时针旋转 ，得到
角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由角 的终边经过点 ，得 ，
因为角 的终边是由角 的终边顺时针旋转 得到的，
所以
，故选： .
4，已知 ，其部分图象如图所示，则 的
解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可知 ，解得 ；又因为 ，故可得 ；
由五点作图法可知 ，解得 ，故 .故选：D.
5，已知直线 y＝kx－k－1 与曲线 C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则 m 的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
【答案】A
【解析】∵直线方程为 ∴直线恒过定点
∵曲线 的方程为 ∴曲线 表示椭圆
∵直线 与曲线 ： 恒有公共点
∴点 在椭圆内或椭圆上，即 .∴
故选 A.
6，若函数 与 在区间 上都是减函数，则 的取值范围
（ ）
B． B． C． D．
【解析】对于 ，开口向下，对称轴为 x=a 若函数在区间 上都是
减函数，则区间 在对称轴的右侧，所以可得：a0 时，
则函数 在第一象限为单调递减，而 在 单调递减，故
a 的取值范围是(0,1]
7，7，设 f (x)是定义域为 R 的奇函数，f (－1)＝0，当 x>0 时，xf ′(x)－f (x)0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
令 g(x)＝ ，
则 g′(x)＝ ，
所以当 x>0 时，g′(x)0 等价于
或
即 或 所以 x