甘肃省张掖市某校2025届高三（下）检测数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省张掖市某校2025届高三（下）检测数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2025−i2025在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a，b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ+1)b，若c与d同向共线，则实数λ的值为( )
A. 1B. 12C. 1或−12D. −1或12
3.已知圆锥的底面半径和球的半径相等，且它们的表面积相等，则该圆锥和球的体积之比为( )
A. 13B. 14C. 22D. 154
4.若方向向量为(1,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=5相切，则直线l的方程可以是( )
A. x+2y+7=0B. 2x+y+3=0C. x+2y−6=0D. 2x+y−6=0
5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[−1,1]时，f(x)=ax+1，则f(2025)=( )
A. 0B. 1C. 2D. 2025
6.阆中熊猫乐园承载着许多人的回忆，将乐园的摩天轮图(1)所示抽象成图(2)所示的平面图形.已知摩天轮的半径为40米，其中心点O距地面45米，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每24分钟转一圈.摩天轮上一点P距离地面的高度为h(单位：米)，若P从摩天轮的最低点处开始转动，则h与转动时间t(单位：分钟)之间的关系为h=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0,φ∈[−π,π]).则摩天轮转动8分钟后，点P距离地面的高度为( )
A. 50米B. 60米C. 65米D. 75米
7.曲线f(x)=lnx−1与g(x)=ln(x−1)的公切线的斜率为( )
A. 1B. −1C. eD. −e
8.有m(m≥3)个盲盒，其中有n(1≤n1,a∈R，则下列说法正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)为增函数B. 当a≤0时，f(x)的值域为R
C. f(f(a))=−aD. f(x)与x轴有两个交点时，a>12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α，β都为锐角，csα=513，sin(α−β)=35，则csβ= ______．
13.已知关于x的不等式2x−5x2−a≤1的解集为M，若3∉M，则实数a的取值范围是______．
14.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1，a3，a7成等比数列，设bn=ancsπan2{bn}的前2024项和______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsC=ac−2ccsB．
(1)求c；
(2)若D为AB中点，CD= 2，∠ACB=60°，求△ABC的周长．
16.(本小题12分)
P为圆M：(x+1)2+y2=8上任意一点，另有一点N(1,0)，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q．
(1)当点P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程C；
(2)直线l与C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值．
17.(本小题12分)
如果数列{an}对任意的n∈N*，an+2−an+1>an+1−an，则称{an}为“速增数列”．
(1)判断数列{3n}是否为“速增数列”？说明理由；
(2)若数列{an}为“速增数列”，且任意项an∈Z，a1=1，a2=2，ak=2024，求正整数k的最大值．
18.(本小题12分)
如图，三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=π3．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=λPA(00,φ∈[−π,π])．
所以由图可知，k=45，hmax=85，hmin=5，于是A=hmax−hmin2=40，
由于点P是从摩天轮的最低点处开始按逆时针开始转动，则当t=0时，h=45−40=5，
代入点(0,5)得，sinφ=−1，又∵φ∈[−π,π]，∴解得φ=−π2，
又由函数的周期T=2πω=24，解得ω=π12，则h=40sin(π12t−π2)+45，
当t=8(分钟)时，h=−40cs(π12×8)+45=−40cs2π3+45=65(米)．
故选：C．
由图易得振幅A=40，平衡轴k=45，周期T=2πω=24，再由题意知函数h经过点(0,5)，代入解得初相φ=−π2，从而可得函数h=40sin(π12t−π2)+45，即可得当t=8分钟时，点P距离地面的高度h=65米．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了数学建模与数学运算核心素养，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=lnx−1的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x，
设切点坐标为(a,lna−1)，则a>0，切线斜率为k1=1a，
可得切线方程为y−(lna−1)=1a(x−a)，即y=1ax−2+lna；
因为g(x)=ln(x−1)的定义域为(,+∞)，则g′(x)=1x−1(x>1)，
设切点坐标为(b,ln(b−1))，b>1，切线斜率为k2=1b−1，
可得切线方程为y−ln(b−1)=1b−1(x−b)，即y=1b−1x−bb−1+ln(b−1)；
由题意可得：1a=1b−1−2+lna=−bb−1+ln(b−1)，解得a=1b=2，
所以公切线的斜率为1a=1．
故选：A．
根据导数的几何意义分别求f(x)，g(x)的切线，结合题意列式求解即可．
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由于风吹掉为随机吹掉，故所有m−1个盲盒中有n个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，p2=nm−1，
设事件A为“最终中奖”，事件B为“一开始选中的有奖”，则P(B)=nm，
在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余m−2个盲盒中有n−1个奖品，
更换后P(A|B)=n−1m−2，
若一开始选中的无奖，则剩余m−2个盲盒中有n个奖品，则更换后P(A|B−)=nm−2，
故p1=P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B−)P(B−)=mn−nm2−2m，
因此p1p2=(m−1)2m2−2m=1+1m2−2m>1，故p1>p2．
故选：C．
利用古典概型概率公式和全概率公式，求出p1和p2，由比值确定大小关系．
本题主要考查全概率公式的应用，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=0.5+0.8+1+1.2+1.55=1，
∴样本点的中心坐标为(3,1)，代入y =b x+0.28，得b =1−0.283=0.24，故A正确；
经验回归方程为y =0.24x+0.28，取x=8，得y =0.24×8+0.28=2.2，故B正确；
样本数据y的40%分位数为0.8+12=0.9，故C错误；
由相关系数公式可知，去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r不变，故D正确．
故选：ABD．
由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，求出b​的值判断A；求出x=8时y的预测值判断B；由百分位数的定义判断C；由相关系数公式判断D．
本题考查线性回归方程，考查相关系数与百分位数的概念，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：选项A：由x2−y23=1得a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4，
故a=1，c=2，所以e=ca=2，故A正确；
选项B：由x2−y23=1得渐近线方程为：y=± 3x，故B错误；
选项C：因点P(1,y0)在抛物线C1上，可得y2=2px开口向右，p>0，
由选项A得x2−y23=1的焦点为(±2,0)，
故y2=2px的焦点坐标为(2,0)，得p2=2，即p=4，故C正确；
选项D：由选项C知，抛物线C1：y2=8x，故其准线为x=−2，
由抛物线的定义知点P到抛物线C1的焦点的距离为P到抛物线准线的距离为1−(−2)=3，
故D正确．
故选：ACD．
选项A，由双曲线的方程可得a，b进而可得c，即可得e；
选项B，由焦点在x轴上双曲线渐近线方程y=±bax可得；
选项C，先由点P(1,y0)在抛物线C1上判断p>0，再根据焦点相同可得p；
选项D，由抛物线的定义，可得点P到抛物线C1的焦点的距离．
本题考查曲线方程的性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，当a=0时，f(x)=x,x≤1x2,x>1，
由于f(x)在(−∞,1]上为增函数，在(1,+∞)上也为增函数，
且在x=1处连续，所以f(x)在R上为增函数，故A项正确．
对于B，取a=−1，则f(x)=x+1,x≤1x2+3x+2,x>1，f(x)在(−∞,1]上为增函数，值域为(−∞,2]；
f(x)在(1,+∞)上为增函数，最小值大于f(1)=6，值域为(6,+∞)．
当a=−1时，f(x)的值域为(−∞,2]∪(6，+∞)，故B项不正确．
对于C，若a≤1，则f(a)=a−a=0，可得f(f(a))=f(0)=−a；
若a>1，则f(a)=a2−3a2+2a2=0，可得f(f(a))=f(0)=−a．
因此，对∀a∈R，f(f(a))=−a，故C项正确．
对于D，函数y=x2−3ax+2a2=(x−a)(x−2a)，在a≠0时，在R上有两个零点a与2a，
①当a>1时，f(x)=x−a在(−∞,1]上没有零点，
f(x)=x2−3ax+2a2在(1,+∞)上有两个零点a与2a，
此时f(x)的图象与x轴有两个交点；
②当a=1时，f(x)=x−1,x≤1x2−3x+2,x>1，
可知f(x)有两个零点1和2，f(x)的图象与x轴有两个交点；
③当a1，结合a|MN|，
所以Q点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且2a=2 2，
解得a= 2，c=1，
则b2=1，
故动点Q的轨迹方程为x22+y2=1；
(2)证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
当直线l斜率不存在时，
由椭圆的对称性可知，x1=x2，y1=−y2，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以OA⋅OB=0，
此时x1x2+y1y2=0，
即x12−y12=0，
因为点A在曲线C上，
所以x122+y12=1，
所以|x1|=|y1|= 63，
则点O到直线AB距离d1=|x1|= 63；
当直线l斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，
联立y=kx+mx22+y2=1，消去y并整理得(1+2k2)x2+4mkx+2m2−2=0，
此时Δ=8(2k2−m2+1)>0，
解得2k2+1>m2，
由根与系数的关系得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，
此时y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
因为以AB为直径的圆过坐标原点O，
所以OA⊥OB，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=0，
即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
因为x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，
整理得3m2=2(k2+1)，
则点O到直线AB的距离为d=|m| k2+1=|m| 3m22= 63．
综上可知，点O到直线AB的距离为定值，定值为 63．
【解析】本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆中的定点、定值、定直线问题，属于较难题．
(1)由题意可得|QM|+|QN|=2 2>|MN|，由椭圆的定义可求点Q的轨迹方程；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，分直线l的斜率是否存在两种情况求解，当直线l斜率不存在，x1=x2，y1=−y2，由已知可得x12−y12=0，可得|x1|= 63，当直线l斜率存在时，设l：y=kx+m(m≠0)，与椭圆联立方程组，根据根与系数的关系可得3m2=2(k2+1)，进而利用点到直线的距离公式可求结论．
17.【答案】数列{3n}为“速增数列”，理由见解析；
64．
【解析】解：(1)如果数列{an}对任意的n∈N*，an+2−an+1>an+1−an，则称{an}为“速增数列”，
数列{3n}为“速增数列”.理由如下，
数列{3n}对∀n∈N*，有an+2−an+1=3n+2−3n+1=2⋅3n+1,an+1−an=3n+1−3n=2⋅3n，
所以(an+2−an+1)−(an+1−an)=2⋅3n+1−2⋅3n=4⋅3n>0，
即an+2−an+1>an+1−an，
所以数列{3n}为“速增数列”．
(2)因为数列{an}为“速增数列”，an∈Z，a1=1，a2=2，
所以对∀n∈N*，有an+2−an+1>an+1−an，且a2−a1=1，
所以a3−a2≥2，a4−a3≥3，⋯，ak−ak−1≥k−1，
累加得(a2−a1)+(a3−a2)+...+(ak−ak−1)≥1+2+3+...+(k−1)=k(k−1)2，
所以ak−a1≥k(k−1)2，
由ak=2024，得k(k−1)≤4046，
又64×63=4032，65×64=4160，
所以正整数k的最大值为64．
(1)利用“速增数列”的定义判断说明即可；
(2)根据新定义有a2−a1=1，a3−a2≥2，a4−a3≥3，⋯，ak−ak−1≥k−1，累加得ak−a1≥k(k−1)2，再结合已知求参数最大值．
本题考查数列递推式，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】证明见解析；
λ=12．
【解析】解：(1)证明：三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面PAC，
∵BC=2AB=2，∠ABC=π3，
∴在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcs∠ABC=5−4csπ3=3，
∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，△ABC为直角三角形，
作BF⊥PA，垂足为F，
∵平面PAB⊥平面PAC，平面PAB∩平面PAC=PA，BF⊂平面PAB，
∴BF⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BF⊥AC；
∵BF∩AB=B，BF，AB⊂平面PAB，∴AC⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥AC．
(2)侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=λPA(02×44n−344n−3+2=44n−1(n∈N*)，
所以ln5−ln1>43,ln9−ln5>47,ln13−ln9>411,…,ln(4n+1)−ln(4n−3)>44n−1(n∈N*)，
累加得ln(4n+1)−ln1>43+47+411+...++44n−1(n∈N*)，
所以13+17+111+...+14n−11，进而可得ln(4n+1)−ln(4n−3)>44n−1(n∈N*)，从而结合累加法即可求证．
本题考查函数的单调性，以及导数在恒成立和不等式的证明中的应用，属于中档题．x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5