山东省济宁市曲阜市2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试卷（解析版）

这是一份山东省济宁市曲阜市2024-2025学年高二下学期4月期中考试 数学试卷（解析版），共20页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A. ﹣40B. 40C. ﹣80D. 80
【答案】C
【解析】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为，
故x2的系数为：﹣80．
故选：C.
2. 函数的极值点为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】因为，则，
令得到或，易知时，，
当时，，
所以不是极值点，的极小值点为，
故选：B.
3. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B. 若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480
C. 若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为48
D. 若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为180
【答案】D
【解析】对于A：若每人都安排一项工作，则不同的方法数为，A选项错误；
对于B：若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为，B选项错误；
对于C:若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同安排方法数为，C选项错误；
对于D：若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，
当1人从事司机工作时，则安排方案有；
当2人从事司机工作时，则安排方案有；
则不同安排方案的种数为.
故选：D.
4. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则，易知时，，
即在区间上单调递减，
又，，且，所以，
故选：A.
5. 已知函数，则（ ）
A. 的单调递减区间为B. 的极大值点为
C. 的极小值为D. 的最大值为
【答案】B
【解析】因为，所以，
令，则，
所以在上单调递减．
因为，所以当时，，即；
当时，，即，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
又，由极值的定义可知，是的极大值点，极大值为，
所以选项A、C和D错误，选项B正确，
故选：B.
6. 多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（ ）
A. 1B. 729C. 64D. 0
【答案】D
【解析】根据二项式的展开式，
当时，的系数为，
当时，的系数为，
因为多项式的项系数比项系数多35，
所以，解得，
所以其各项系数之和，即当时，系数和为0，
故选：D.
7. 设，若为函数的极小值点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
得，
令，则或，
当，即时，
若时，则在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不合题意，
若时，则在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，
当时，，
若时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极大值点，不合题意，
若时，在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，得，
综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，
故选：C
8. 将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为甲组、乙组均为个数，则其中位数为从小到大排列的第个数，
即小于中位数的有个数，大于中位数的也有个数，
依题意可得甲组的中位数为或，
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能大于；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能小于；
综上可得不同的分组方法数是种.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是导函数的导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取极大值
D. 函数在，处取极小值
【答案】AB
【解析】由导函数和原函数的关系可知，在和上单调递增，在上单调递减，
导函数在极值点左右要变号，所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，分析选项可知AB正确，CD错误，
故选：AB.
10. 已知函数（ ）
A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C. 当,在区间上不单调，则实数的取值范围是
D. 若的单调递减区间为，则．
【答案】AD
【解析】由题可得，
所以当时恒成立，此时函数在定义域上单调递增；
当时，满足，
则令，得（舍去），
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
对于A，由上可得当时符合条件，当时，则，
所以若在上单调递增，则实数的取值范围是，故A正确；
对于B，由上可得，
若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是，故B错误；
对于C，当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在区间上不单调，则，
所以实数的取值范围是，故C错误；
对于D，若的单调递减区间为，则，故D正确.
故选：AD
11. 将这七个数随机地排成一个数列，记第项为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有个
B. 若，，则这样的数列共有个
C. 若，，，则这样的数列共有个
D. 若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有个
【答案】BC
【解析】对于选项A，从中选出1个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
从中选出2个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
从中选出3个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
从中选出4个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有；
从中选出5个数排在1的右侧，其余按从小到大排在1的左侧，得到先减后增的数列有个；
故满足条件的总个数为：个，所以选项A错误，
对于选项B，由于为奇数，所以没有三个数之和相等的两组数，根据对称性可知这样的数列有个，故选项B正确；
对于选项C，若，从中任选个作为，有种，
因为，，，则一定是剩下四个数中最大的数，
再从个数中选作为，剩下的一个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个；
若，从中任选个作为，有种，
因为，，，则一定是剩下个数中最大的数，且，
再从个数中选个作为，剩下的1个作为，有种，由分步计数原理可知满足条件的数列有个；
若，从中任选个作为，有种，
此时中剩下的两个数只能是，且，，
由分步计数原理可知满足条件的数列有个，
所以满足条件的这样的数列共有个，故选项C正确；
对于选项D，若所有奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故选项D错误，
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
12.的展开式中的系数是________（结果用数字表示）．
【答案】210
【解析】∵的通项为，
∴的通项为，
∴的展开式中的系数为，
同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为，
故展开式中的系数为：.
（也可以根据性质：，因为，故）
故答案为：210
13. 如图,已知平面五边形的周长为14,若四边形为正方形，且，则当的面积取得最大值时，________．

【答案】
【解析】过点作，垂足为．
设，则，
∵，∴，
则，
由，
即，
解得．
在中，．
记的面积为，则．
设函数，，
则，
令，得或．
所以当时，；当时，．
即在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，
则取得最大值，此时．
故答案为：.

14. 已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是________.（请填序号）．
①;
②;
③;
④.
【答案】①②④
【解析】对于①，由不等式，得，因此，①正确；
对于②，在不等式中，取，得，
即，
则，因此，②正确；
对于④，由，得，④正确；
对于③，在不等式中，取，得，
即，因此，③错误.
所以所给不等式中一定成立的是①②④.
故答案为：①②④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. 已知，设
（1）求的值；
（2）求的展开式中的系数．
解：（1）由已知，得，，
解得：.
（2）因为，
所以，
展开式的通项为：，，
展开式的通项为：，
当，时，的系数为；
当，时，的系数为；
当，时，的系数为；
当，时，的系数为，
所以展开式中的系数为．
16. 有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答）
（1）可以有空盒子的方法共有多少种？
（2）1号盒子不放球的方法共有多少种？
（3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？
（4）若每个盒子放一个小球，小球编号与盒子编号均不相同，有多少种不同的放法？
解：（1）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共种；
（2）1号盒子不放球的方法共有种；
（3）恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球，
而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒，
再将四球中选出两球绑在一起，再排列共种；
（4）小球编号与盒子编号均不相同，首先可以从2，3，4号球中任选其一放入1号盒子中，有种选择，
然后1号球可以放入2，3，4号盒子中的其中一个盒子中，有种选择，
最后剩下的两个球不能放入同编号的盒子中，有且只有1种选择，
故满足题意的有种不同的放法.
17. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，函数在上的最小值为，求的值；
（3）当时，求的对称中心．
解：（1）由题意，函数的定义域为，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，
当时，由得或，
则函数在，上单调递增，
当时，由得或，
即函数在，上单调递增，
所以当时，函数的递增区间是，；
当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，．
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，
，解得，
所以的值为.
（3）当时，，设函数的对称中心为，
则，
即，
整理可得，
所以，解得.
所以函数对称中心为.
18. 已知函数，．
（1）求的极值并画出函数的图象草图；
（2）若在上单调，求实数的取值范围；
（3）若函数存在极值，求极值点的个数．（写出所有可能）
解：（1）因为，，
所以，
令，可得，所以或，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为0，
当时，函数取极大值，极大值为，
因为，所以当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以当时，取极小值，极小值为0；
当时，函数取极大值，极大值为.函数大致图象如下：
（2）由（1），
因为在上单调，所以恒成立或恒成立，
所以或，又，
所以的取值范围是．
（3）由（1），
当时，，函数在上单调递增，
所以函数没有极值点，不满足要求；
当时，方程有三个根，
设的根为，，，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，此时有3个极值点，
当时，方程有两个根，其中较大根为2，
设的另一根为，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递减，此时有1个极值点，
当时，方程有一个根，
设的根为，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
此时函数有1个极值点，
所以若函数存在极值，则极值点的个数可能为1，3．
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
解：（1）因为，
所以，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
由，得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
令，，则，
所以在上单调递减，
又，所以要使，即，则．
又因为，
所以在上有一个零点，
又，
令，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，
所以在上也有一个零点．
综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是．