贵州省2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份贵州省2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
故选：D.
2. 某校男生与女生人数之比为，为了解该校学生的体重情况，按性别采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽样120人进行调查，则该校女生被抽取的人数是（ ）
A. 24B. 48
C. 36D. 56
【答案】B
【解析】由分层抽样定义可知被抽取到的女学生人数是.
故选：B.
3. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为均在上单调递增，则在上单调递增，
由已知，，，
，，
，
由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是.
故选：C.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取，则，但，
取，则，但，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：.
5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
所以，，大小关系是.
故选：A.
6. 在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（ ）
A. 3个小球中至多有1个白球
B. 3个小球中至多有1个红球
C. 3个小球都是红球
D. 3个小球都是白球
【答案】A
【解析】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白，
所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白，
即至多有1个白球.
故选：A.
7. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，即，解得.
所以函数的定义域为，
又的对称轴为，开口向下，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在0,+∞上单调递增，
故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是.
故选：B.
8. 溶液酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：）
A. 1.921B. 1.301C. 1.875D. 1.079
【答案】A
【解析】由题意可得
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确.
对于选项B：因为a>0，所以，当且仅当时取等号，故B正确.
对于选项C：当时，，故C错误.
对于选项D：，当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ABD.
10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】令，即.
因为，所以无解，
则不是“不动点”函数，A不正确；
令，即，即.
因为，所以有两个不同的非零实根，
则是“不动点”函数，B正确；
令，即，
易知是方程的一个解，
则是“不动点”函数，C正确；
当时，令，即，解得或，
则方程在0,+∞上无解；当时，，
则方程在上无解.故不是“不动点”函数，D不正确；
故选：BC.
11. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ）
A. 甲：中位数为7，众数为8
B. 乙：平均数为6，极差为4
C. 丙：中位数7，极差为3
D. 丁：平均数为7，方差为2
【答案】ABD
【解析】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，又只有5个数据，7为中位数，
所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数，
故甲地符合进入冬季标准，故A正确；
对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差，
假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，此时极差不
为4，故假设不成立，即每日气温都低于，所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确；
对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，故丙不符合进入冬季标准，故C错误；
对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数，
所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意，
若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，计算方差，可知不符合方差为2的条件，
若二天，则五天的气温的方差一定大于2，
若一天，则五天的气温的方差一定大于2，
综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】由已知得，解得.
所以函数的定义域为.
13. 某校开设了、、、、这门课程，甲、乙都任意选修了其中门课程，则甲、乙都没有选修课程，且他们恰有人选修课程的概率是__________.
【答案】
【解析】由题意可知，甲选修课程与乙选修课程相互独立，
若甲选修课程，乙没有选修课程，其概率为；
若乙选修课程，甲没有选修课程，其概率为.
因此，甲、乙两人都没有选修课程，且他们中恰有人选修课程的概率是.
14. 已知是定义在上的奇函数，对任意的、，恒成立，且，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】对任意的、，恒成立，
不妨设，可得，
所以，函数在上为增函数，
又因为是定义在上的奇函数，则该函数在上也为增函数，
因为，则，
由可知，
当时，，解得；
当时，，解得.
因此，不等式的解集为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由题意可得.
当时，
则，.
（2）显然恒成立，
则，若，需或，
解得或.
综上，a的取值范围是.
16. 王老师从所教两个班的100名学生中随机抽取40名学生，记录他们期中考试的数学成绩（满分100分），根据所得数据，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这40名学生期中考试数学成绩的平均分和方差（各组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知剩余60名学生期中考试数学成绩的平均分为82，方差为101，结合（1）中求得的结果，估计王老师所教两个班的学生期中考试数学成绩的平均分和方差.
解：（1）这40名学生期中考试数学成绩的平均分为：
，
这40名学生期中考试数学成绩的方差为：
.
（2）两个班的学生期中考试数学成绩的平均分为，
两个班的学生期中考试数学成绩的方差为：
.
17. 某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响.
（1）求甲进入决赛的概率；
（2）求甲至少答对2道题的概率.
解：（1）甲初赛答对2题进入决赛的概率为，
甲初赛答对1题进入决赛的概率为，
所以甲进入决赛的概率.
（2）甲初赛答对2题的概率，
甲初赛答对1题，复赛答对2题的概率为，
甲初赛答对1题，复赛答对1题的概率为，
所以甲至少答对2道题的概率.
18. 已知是奇函数.
（1）求的值及的定义域；
（2）判断的单调性并用定义法证明；
（3）求不等式的解集.
解：（1）因为是奇函数，所以恒成立，
所以，
即，所以，所以，所以，
因为，解得，
所以，由，等价于，解得，
所以函数定义域为.
（2）函数在上单调递增；
证明：，且，
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，即，所以在上单调递增.
（3）由，可得，
因为在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为.
19. 若函数满足对任意的，，都有，，且，则称为“超加性倾向函数”.
（1）若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由.
（2）证明：函数是“超加性倾向函数”.
（3）若函数是“超加性倾向函数”，求的值.
解：（1）当时，，
.
因为是上的增函数，所以，
则，则不是“超加性倾向函数”.
（2）因为，所以是上的增函数.
因为是上的增函数，所以是上的增函数，
因为，所以.
取任意的，，
则.
因为，，所以，，所以，，
所以，
所以，则，
故是“超加性倾向函数”.
（3）因为是“超加性倾向函数”，所以对恒成立，
即对恒成立.
因为，所以，所以.
因为是“超加性倾向函数”，
所以对任意的，恒成立，
所以，即，
即对任意的，恒成立.
因为，，所以，，所以，，
所以，所以，解得.
故.