2024-2025学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,3,4}，B={1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {1,3,4}B. {2}C. {1,2,3,4}D. ⌀
2.复数z=1+i的共轭复数z−=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
3.已知向量a=(2,3)，b=(k,6).若a/​/b，则k等于( )
A. 9B. 4C. −4D. −9
4.已知a>0，b>0，若ab=1，则a+b的最小值是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
5.已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是( )
A. 3B. 7C. 9D. 21
6.已知sinα=13，且α是第一象限角，则( )
A. sin(2π+α)=−13B. sin(π−α)=−13
C. cs(−α)=−2 23D. tan(π+α)= 24
7.在一家高科技公司，研发团队设计了一个高度机密的保险箱密码.为了防止密码被泄露，公司决定让两名顶级安全专家甲和乙分别独立破译密码.甲专家擅长某种加密算法，其独立破译密码的概率为0.4，乙专家有更先进的解密工具，其独立破译密码的概率为0.6，则两人中恰有一人破译密码的概率为( )
A. 0.4B. 0.52C. 0.6D. 0.76
8.已知函数f(x)=lnx,x>0ex,x≤0，则有( )
A. f(f(1))=0
B. f(x)的值域为[0,+∞)
C. f(x)在R上单调递增
D. 若关于x的方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(0,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.兴义市某中学高一年级进行年度表彰活动，对申报表彰的同学进行“德智体美劳”等方面进行考核，有五位同学因表现优异分别获得了各类别的“优秀之星”称号.具体获奖次数列举如下：2、3、4、4、7，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数据的极差为5B. 这组数据的方差为2.5
C. 这组数据的众数等于平均数D. 这组数据的中位数是4
10.已知向量a=(2,−1)，b=(1,−2)，则下列结论正确的是( )
A. a⊥bB. a+b=(3,−3)
C. |a−2b|=3D. b在a上的投影向量为(85,−45)
11.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a、b、c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：S= 14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，现有△ABC，其内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a：b：c=2：3：4，△ABC的面积为3 15，则下列结论正确的是( )
A. △ABC的周长为36
B. 若O为△ABC的外心，则AO⋅(AB+AC)=50
C. △ABC内切圆的半径为 153
D. 在△ABC中，边AB的中线CD的长为 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=−1+i，则|z|= ______．
13.若事件A与B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)= ______．
14.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中：
(1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设C=“骰子朝上的点数大于3”，求事件C的概率；
(2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次实验的结果.设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件A，B的概率．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱C1D1，C1B1的中点．
(1)证明：EF/​/平面AB1D1；
(2)求直线AD1与直线EF所成的角的大小．
17.(本小题15分)
为推广“康养胜地、人文兴义”旅游品牌，黔西南州文旅局在某旅行社举办“最美黔西南”知识竞赛，从参与活动的人员中随机抽取100名，根据他们的竞赛成绩(成绩均在[50,100]内)，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)根据直方图估计本次竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若将本次竞赛分数从高到低排序，分数位于前20%的人员，文旅局对其发放马岭河峡谷的免费门票，求获得免费门票的人员的最低分数．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B+C=5A．
(1)求A；
(2)已知a=2．
(ⅰ)当c=2 3时，求b的值；
(ⅱ)当 2bsinC=csin2B时，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面QAD⊥平面ABCD，若AD=2,QD=QA= 5．
(1)求点Q到平面ABCD的距离；
(2)求二面角Q−BC−A的余弦值；
(3)若P为侧面QCD内(包含边界)的一点，且四棱锥P−ABCD的体积为43，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：集合B={1,2,3,4}，A={1,3,4}，则A∩B={1,3,4}．
故选：A．
由交集的概念即可得解．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由共轭复数的概念可知，z=1+i的共轭复数z−=1−i．
故选：C．
由共轭复数的概念可得结果．
本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵a−=(2,3)，b−=(k,6)，且a/​/b，
∴2×6−3k=0，
∴k=4．
故选：B．
利用两个向量平行的性质：x1y2−x2y1=0，解出k的值即可．
本题考查两个向量平行的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为a>0，b>0，
由基本不等式可知a+b2⩾ ab，即a+b⩾2 ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，
所以a+b的最小值为2，
故选：D．
利用基本不等式直接计算即可．
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，
所以棱台的体积为V=13×(1+ 1×4+4)×3=7．
故选：B．
根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解．
本题考查棱台的体积的求解，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可得csα= 1−19=2 23,tanα=12 2= 24，
对于A，sin(2π+α)=sinα=13，故A错误；
对于B，sin(π−α)=sinα=13，故B错误；
对于C，cs(−α)=csα=2 23，故C错误；
对于D，tan(π+α)=tanα= 24，故D正确．
故选：D．
由题意得csα= 1−19=2 23,tanα=12 2= 24，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解．
本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：若两人中恰有一人破译密码，
分成两种情况：甲成功乙失败或甲失败乙成功，
则所求概率为：P=(1−0.6)×0.4+(1−0.4)×0.6=0.52．
故选：B．
若两人中恰有一人破译密码，有两种情况：甲成功乙失败、甲失败乙成功，再结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率．
本题考查相互独立事件的概率计算以及概率乘法公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对于A，因为f(1)=ln1=0，
故f(f(1))=f(0)=e0=1，故A错误；
对于B，当x>0时，f(x)=lnx∈R；当x≤0时，f(x)=ex∈(0,1]．
因此函数f(x)的值域为R，故B错误；
对于C，因为f(0)=1，f(1)=ln1=0，
则f(0)>f(1)，
故函数f(x)在R不是增函数，故C错误；
对于D，作出函数y=f(x)的图象，如下图所示：
当00)，则b=3t，c=4t，
由题意可得S=12 4t2×16t2−(4t2+16t2−9t22)2=3 154t2=3 15，
解得t=2，
可得a=2t=4，b=6，c=8，
可得△ABC的周长为4+6+8=18，故错误；
对于B，取线段AB的中点O，连接OD，
则OD⊥AB，
所以AO⋅AB=(AD+DO)⋅AB=AD⋅AB+DO⋅AB=12AB2，
同理可得AO⋅AC=12AC2，
所以AO⋅(AB+AC)=12AB2+12AC2=12×82+12×62=50，故正确；
对于C，设△ABC内切圆的半径为r，
则S△ABC=S△OBC+S△OCA+S△OAB=12r(a+b+c)，
故r=2S△ABCa+b+c=2×3 1518= 153，故正确；
对于D，由题意2CD=CA+CB，
又由于BA=CA−CB，
可得4CD2+BA2=(CA+CB)2+(CA−CB)2=2CB2+2CA2，
可得4CD2=2a2+2b2−c2=2×42+2×62−82=40，解得CD= 10，故正确．
故选：BCD．
设a=2t(t>0)，则b=3t，c=4t，结合三角形面积公式求出t，可求出△ABC的周长，可判断A选项；推导出AO⋅AB=12AB2，AO⋅AC=12AC2，结合平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用等面积法求出△ABC内切圆的半径，可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项．
本题考查了三角形面积公式以及平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】 2
【解析】解：由题意，|z|= (−1)2+12= 2．
故答案为： 2．
利用复数的模长公式可求得结果．
本题考查复数的模长，属于基础题．
13.【答案】0.8
【解析】解：由题可得：P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8．
故答案为：0.8．
根据题意结合互斥事件概率加法公式运算求解．
本题主要考查概率的计算，属于基础题．
14.【答案】−16
【解析】解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π−θ.又AB=MB−MA，AC=MC−MA，
∴AB⋅AC=(MB−MA)⋅(MC−MA)=MB⋅MC−MB⋅MA−MA⋅MC+MA2，
=−25−5×3csθ−3×5cs(π−θ)+9=−16，
故答案为−16．
设∠AMB=θ，则∠AMC=π−θ，再由AB⋅AC=(MB−MA)⋅(MC−MA)以及两个向量的数量积的定义求出结果．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
15.【答案】12；
P(A)=536,P(B)=1136．
【解析】(1)由题易知，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，则C={4,5,6}，
C的概率为P=n(C)n(Ω)=36=12；
(2)由题意n(Ω1)=6×6=36，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，
根据题意，写出事件A，B的所有可能如下所示：
A={(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，
B={(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(6,5)}，
则n(A)=5，n(B)=11，
所以P(A)=n(A)n(Ω1)=536,P(B)=n(B)n(Ω1)=1136．
(1)根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解；
(2)依次算出n(Ω1)=36，n(A)=5，n(B)=11，根据古典概型概率计算公式即可求解．
本题主要考查古典概型，属于中档题．
16.【答案】证明过程见解析； 60°．
【解析】(1)证明：因为点E，F分别为棱C1D1，C1B1的中点，
所以EF/​/B1D1，
又因为EF⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以EF/​/平面AB1D1；
(2)设正方体棱长为a，(a>0)，
所以AD1=D1B1=B1A= 2a，
所以三角形AD1B1是边长为 2a的等边三角形，
所以直线AD1与直线D1B1所成的角的大小为60°，
因为EF/​/B1D1，
所以直线AD1与直线EF所成的角的大小为60°．
(1)只需证明EF/​/B1D1，再结合线面平行的判定定理即可得证；
(2)将所求转换为直线AD1与直线D1B1所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解．
本题考查线面平行的判定，以及线面角的计算，属于基础题．
17.【答案】0.012；
75.4；
86分．
【解析】(1)由频率分布直方图可得(0.008+0.024+0.036+0.020+a)×10=1，解得：a=0.012．
(2)平均分为：x−=0.08×55+0.24×65+0.36×75+0.2×85+0.12×95=75.4，所以平均分为75.4．
(3)因为100×0.2=20，所以最低分数为第20名分数，
且[90,100]频数为12，[80,90)频数为20，
所以第20名在[80,90)这一组中，并且为该组的第8名，
所以90−820×10=86分，
所以最低分数为86分．
(1)小矩形的面积之和为1，可求出a；
(2)算出各组频率，用频率乘以分数可以得到答案；
(3)算出各组人数，前20%的人员为前20名，找出第20名所在分组，再按比例计算得到答案．
本题考查由频率分布直方图求参数、平均数、百分位数，属于基础题．
18.【答案】A=π6；
(i)b=2或b=4；(ii)2+3 2+ 6．
【解析】(1)由题意B+C=5A，
又因为B+C+A=π，
可得A=π6；
(2)(ⅰ)因为a=2，A=π6，c=2 3，
又因为a2=b2+c2−2bccsA，可得b2+12−6b=4，即b2−6b+8=0，
解得b=2或b=4；
(ⅱ)由于 2bsinC=csin2B，
所以 2sinBsinC=sinC⋅2sinBcsB，
因为B，C∈(0,π)，可得sinBsinC≠0，可得csB= 22，
可得B=π4，
又因为A=π6，
可得sinC=sin(π−π6−π4)=sin(π6+π4)=12× 22+ 32× 22= 2+ 64，
所以由正弦定理可得212=b 22=c 2+ 64，解得b=2 2,c= 2+ 6，
可得△ABC的周长为2+2 2+ 2+ 6=2+3 2+ 6．
(1)由三角形内角和为π，联立B+C=5A即可求解；
(2)(i)由余弦定理即可求解；(ii)首先得B=π4，结合a=2，A=π6，三角形内角和定理、两角和的正弦公式以及正弦定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理以及两角和的正弦公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
19.【答案】2； 22； 2 2929．
【解析】解：(1)取AD的中点E，连接QE，因为QD=QA，所以QE⊥AD，
因为平面QAD⊥平面ABCD，且平面QAD∩平面ABCD=AD，QE⊂平面QAD，
所以QE⊥平面ABCD，
即点Q到ABCD的距离为QE，
又因为AD=2,QD=QA= 5，
可得QE= QA2−(AD2)2= ( 5)2−12=2，
所以点Q到ABCD的距离为2．
(2)取BC的中点F，连接EF，QF，
因为底面ABCD是正方形，可得EF⊥BC，
由(1)知，QE⊥平面ABCD，且EF⊂平面ABCD，所以QE⊥BC，
因为QE∩EF=E，且QE，EF⊂平面QEF，所以BC⊥平面QEF，
又因为QF⊂平面QEF，所以BC⊥QF，
所以∠QFE为Q−BC−A的平面角，
在直角△QFE中，可得EF=2,QF= QE2+EF2= 22+22=2 2，
所以cs∠QFE=EFQF=22 2= 22，
即二面角Q−BC−A的余弦值为 22．
(3)因为底面ABCD是正方形，且AD=2，所以正方形ABCD的面积为S=4，
设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，
因为四棱锥P−ABCD的体积为43，
可得13Sℎ=43，
解得ℎ=1，
分别取QA，QB，QC，QD的中点A1，B1，C1，D1，连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，
可得A1B1/​/C1D1，B1C1//D1A1，
所以A1，B1，C1，D1在同一个平面内，
因为A1B1/​/AB，B1C1/​/BC，且A1B1⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以A1B1/​/平面ABCD，同理可证B1C1/​/平面ABCD，
又因为A1B1∩B1C1=B1，且A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，
所以平面A1B1C1D1/​/平面ABCD，
由(1)知QE⊥平面ABCD，且点Q到ABCD的距离为2，
所以A1D1到ABCD的距离为1，即C1D1到ABCD的距离为1，
即点P在线段C1D1上运动，且点P到平面ABCD的距离为1，
要使得BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值，则BP最长，
即点P与D1重合时，BP与平面ABCD所成角的正弦值取得最小值，
取DE的中点M，因为D1为QD的中点，可得D1M//QE，
因为QE⊥平面ABCD，所以D1M⊥平面ABCD，
连接BM，因为BM⊂平面ABCD，所以D1M⊥BM，
在直角△ABM中，AB=2,AM=32，
可得BM= AB2+AM2= 22+(32)2=52，
在直角△BMD1中，可得BD1= BM2+D1M2= (52)2+12= 292，
则sin∠D1BM=D1MBD1=2 2929，
即BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值为2 2929．
(1)取AD的中点E，连接QE，证得QE⊥AD，利用面面垂直的性质定理，证得QE⊥平面ABCD，得到点Q到ABCD的距离为QE，再直角△AQE中，即可求解；
(2)取BC的中点F，连接EF，QF，分别证得QE⊥BC和BC⊥QF，得到∠QFE为Q−BC−A的平面角，在直角△QFE中，即可求解；
(3)设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，求得ℎ=1，取QA，QB，QC，QD的中点A1，B1，C1，D1，证得点P在线段C1D1上运动，取DE的中点M，证得D1M⊥平面ABCD，再连接BM，证得D1M⊥BM，求得BM长，在直角△BMD1中，即可求解．
本题考查点面距以及空间角的计算，属于难题．