江苏省无锡市2024-2025学年高一上学期期末教学质量调研测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省无锡市2024-2025学年高一上学期期末教学质量调研测数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知全集，则（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】全集，则或.
故选：B.
2. 设，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当，时，显然不成立，故A错误；
当时，显然不成立，故B错误；
因为，所以成立，故C正确；
因为，由已知可知，但不能确定的符号，故D错误.
故选：C.
3. 已知扇形的周长为12，圆心角的弧度是4，则该扇形的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 12
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，
则周长为12得：，
所以扇形的面积为：.
故选：C.
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
则
.
故选：A.
5. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的定义域为
C. 是增函数 D.
【答案】D
【解析】对A：由，函数的最小正周期为，故A错误；
对B：由，，解得，
所以的定义域为，故B错误；
对C：，，解得，，
所以函数在，上单调递增，故C错误；
对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确.
故选：D.
6. 已知，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据函数为增函数，
由于，则，所以，即，
因为，所以，即，，
所以.
故选：B.
7. 已知正数满足，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】原式，当且仅当，即时，等号成立，
取得最大值.
故选：A.
8. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（ ）
A. 16B. 18C. 24D. 27
【答案】B
【解析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），
依题意可得，将，代入可得：.
又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，
这内卡车行驶的路程为：（）.
由，
所以.
根据速度的意义，所以.
所以卡车行驶的速度应低于.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以，或，所以，故A错误；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，，则，满足条件，故D正确.
故选：BD.
10. 已知，则下列说法正确的有（ ）
A. 为锐角
B. 点在的终边上
C.
D.
【答案】ACD
【解析】由和，解得，
因为，则，所以为锐角，A正确；
则，即，C正确；
可得，
由，可知点在的终边上，B错误；
由，，
所以，D正确.
故选：ACD.
11. 定义在上的函数，对任意，当时，都有.若当时，，则（ ）
A. 函数是周期函数
B. 当时，
C. 不等式的解为
D. 若，恒有，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为对任意，当时，都有，
所以，即，
所以不可能是周期函数，故A错误；
对于B，当，，所以，
又因为，所以，故B正确；
对于C，当时，不等式，即，解得，
且；
当时，不等式，即，解得，
且，
当，
，
又，所以当时，不等式无解，
由，所以当时，不等式无解，
综上：不等式的解为，故C正确；
对于D，由C选项可知，要想满足，恒有，
只需且，解得，所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数y=fx的图象经过点，则__________.
【答案】
【解析】设.
13. 已知，则__________；__________.（结果用，b表示）
【答案】
【解析】由，
得；
则lg1456＝
.
14. 在平面直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与射线交于点，与轴交于点.记，且，则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】由三角函数定义，得，从而，
所以
．
因为所以当时取等号，所以面积的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由题意知：集合，
集合或，
所以或，.
（2）由“是的必要不充分条件”知：，
当时，，即，符合题意，
当时，，即，
综上所述，实数的取值范围是.
16. 已知均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为为锐角，且，所以，
因为，且，
所以，
所以.
（2），是锐角，则，
于是，
所以，所以.
17. 已知函数的图象过点和点.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且图象关于直线对称，求函数与的图象在上的交点个数.
解：（1）依题意，即，解得，
函数，
由，得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）依题意，
由图象关于直线对称，得，
即，
而，则，解得，因此，
函数与的图象在上的交点个数，
即求方程在上解的个数，
由，得，
则，
即，而，
因此，即，
由，得，或，或，或，
所以与的图像在上的交点共4个.
18. 已知为偶函数，为奇函数，且.
（1）求与的解析式；
（2）令.
（i）解不等式；
（ii）若不等式对任意的x∈R恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为①，
所以，
又因为为偶函数，为奇函数，
所以②，
由①②得：.
（2）（i），
又，故为R上的奇函数，
将变形可得，
，且，
有，
因为在R上单调递增，且，所以，即，
又因为，所以，所以是R上的增函数，
因此不等式等价转化为，
即，所以，即，
所以不等式的解集为.
（ii）由（i）知为R上奇函数，
所以，故对任意的x∈R恒成立，
又因为为R上增函数，
所以对任意的x∈R恒成立，
即对任意x∈R恒成立，
令，故，
所以对任意恒成立，
即对任意的恒成立，
函数在上单调递增，
故，所以，即.
19. 已知函数，其中.
（1）若函数的定义域为，求的值；
（2）记函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围；
（3）当时，若，证明：函数在上存在唯一的零点，且.
解：（1），
因为函数的定义域为，
所以不等式的解集为，
所以1，2是方程的两个不等实数根，所以，即.
（2）由题意知，，
令，则，
①当，即时，，
由，得，又，所以.
②当，即时，，
由，得，又，所以.
③当，即时，，
由，得，
又，所以.
④当，即时，，
由，得，
又，所以.
综上所述：.
（3）当时，，
所以，
当时，易知y=gx单调递增，
又.
由零点存在性定理知函数y=gx在上有唯一零点，
且，
当时，，所以gx>0恒成立，
故y=gx在上无零点.
当时，，所以gx>0恒成立，
故y=gx在上无零点.
综上所述，y=gx在0，+∞上存在唯一零点，且，
因为，
又为的零点，
所以，
故，
因为，且，所以.
令，
则，
显然，在上单调递减，
所以.